Recette n°1
On choisit un entier p quelconque >= 10¹⁵. Démontrer qu'il existe toujours dans p une chaîne de chiffres consécutifs dont la longueur maximale est de 16 et telle que le produit des chiffres est un carré parfait.

Recette n°2

 

On choisit deux nombres premiers p et q qui ont les propriétés suivantes :
- q est le plus petit entier tel que parmi q diviseurs de p! on en trouve toujours un ou plusieurs dont le produit est égal à un cube parfait.
- q est cousin* de p, c'est à dire que =4

Quelles sont les valeurs de p et de q ?

* Si leur différence était égale à 2, ils seraient jumeaux.

 Solution