Q₁ Vérifier avec l'aide d'un automate qu'il existe cinquante entiers consécutifs tels qu'aucun d'eux n'est divisible par la somme de ses chiffres [*]
Q₂ Démontrer que pour tout entier positif n , il existe une suite de n entiers consécutifs positifs tels qu'aucun d'eux n'est divisible par la somme de ses chiffres. [*****]

Nota: ce problème fait suite aux problèmes A1881 et A1883

Thérèse Eveilleau et

Bernard Vignes ont résolu tout ou partie du problème.

Gwenaël Robert,

Daniel Collignon et

Antoine Verroken ont également résolu le problème en notant que les entiers divisibles par la somme de leurs chiffres dans une base donnée sont appelés nombres d'Harshad ou encore nombres de Niven.Ces nombres sont référencés dans l'OEIS (cf https://oeis.org/A144378) et font l'objet d'analyses nombreuses qui donnent une réponse à Q2^.Ainsi on peut lire avec intérêt l'article de Jean-Marie de Koninck et de Nicolas Doyon "Large and small gaps between consecitive Niven numbers" (cf pages 3 et suivantes)

Solution