On désigne par τ(n), tau de n, le nombre de diviseurs de n, y compris l’entier 1 et l’entier n lui-même.
Pour tout entier a ≥ 2 fixé à l’avance, Zig marque de l’intérêt pour les entiers n et leurs tau tels que la puissance d’ordre a de τ(n) est un multiple de n, à savoir τ(n)^a = k.n avec k entier ≥ 1
Q₁ Prouver que pour tout a ≥ 2, il existe au moins un entier n  et un entier k ≥ 1 tels que τ(n)^a  = k.n.[**]

Q₂ a = 2.
Déterminer tous les entiers n tels que τ(n)² = 2n [**]

Q₃ a= 3.
Prouver qu’il existe au moins deux entiers n tels que τ(n)³ = n [***]
Déterminer tous les entiers n tels que τ(n)³ = 4n [****]⁽¹⁾

Q₄ a = 4
Prouver qu’il existe au moins trois entiers n tels que τ(n)⁴ = n [**]
Prouver qu’il existe au moins deux entiers n tels que τ(n)⁴ = 20n [***]
Prouver qu’il existe au moins quatre entiers n tels que τ(n)⁴ = 28n [***]
Prouver qu’il existe au moins huit entiers n tels que τ(n)⁴ = 32n [***]

Q₅ a= 5
Prouver qu’il existe au moins deux entiers n tels que τ(n)⁵ = 22n [***]

⁽¹⁾ Nota : problème N2 de la liste des problèmes présélectionnés aux Olympiades Internationales de Mathématiques 2000

 Solution