Pour tout entier n strictement positif, la fonction Ψ(n) est égale à somme des plus grands communs diviseurs (PGCD) de l’entier n et des entiers k, k variant de 1 à n.
En d’autres termes, si (n,k) désigne le PGCD de n et de k,
Par exemple Ψ(4) = 1 + 2 + 1 + 4 = 8 et Ψ(5) = 1 + 1 + 1 + 1 + 5 = 9

Q₁ Calculer Ψ(n) pour n variant de 1 à 25.[*]
Q₂ Démontrer que si p et q sont deux entiers relativement premiers entre eux Ψ(p.q) = Ψ(p).Ψ(q).[**]
Q₃ Calculer Ψ(2024) et trouver trois entiers a,b,c ,a ≠ b ≠ c ≠ 2024, tels que Ψ(a ) = Ψ(b) = Ψ(c) = Ψ(2024).[***]
Q₄ Prouver que pour tout entier m ≥ 1, l’équation Ψ(x) = mx a toujours au moins une solution en x.
Prouver que l’équation Ψ(x) = 2024x a au moins deux solutions en x et donner la condition nécessaire et suffisante sur m pour que l’équation Ψ(x) = mx ait une seule solution.[***]

 Solution