Soient :
φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.
σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.

Q₁ Avec 20! qui désigne la factorielle de 20, dans chacun des neuf cas ci-après, trouver le plus grand nombre premier p tel que :
p divise φ(20!), p² divise φ(20!), p³ divise φ(20!),
p divise σ(20!), p² divise σ(20!), p³ divise σ(20!),
p divise τ(20!), p² divise τ(20!), p³ divise τ(20!).

Q₂ Avec 95! qui désigne la factorielle de 95, dans chacun des quatre cas ci-après, trouver le plus grand nombre premier q tel que : q divise φ(95!), q² divise φ(95!), q³ divise φ(95!), q⁴ divise φ(95!).

 Solution

Par ordre alphabétique:Maurice Bauval,Joël Benoist,Daniel Collignon,Claude Felloneau,Francesco Franzosi,Thérèse Eveilleau,Bruno Grebille,Marc HumeryPatrick Kitabgi,Kee-Wai Lau,Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Henri Palmade,Gaston Parrour,Olivier Pasquier de Franclieu,Nicolas Petroff et Pierrick Verdier ont résolu le problème.