Soit un entier n ≥ 2 avec ses diviseurs classés par ordre croissant 1 = d₁ < d₂ < d₃ < …< d_k = n. Le socle s_n de l’entier n est égal à  la somme des produits de deux diviseurs consécutifs soit s_n = d₁d₂ + d₂d₃ + …+ d_k-1d_k.
On pose r_n = s_n/n²
Q₁ Prouver que r_n < 1  pour tout n ≥ 2.
Q₂ Déterminer le plus petit entier n tel que r_n > 0.95
Q₃ Déterminer les entiers n tels que s_n est un diviseur de n².
Q₄ Prouver que quels que soient i et j entiers  r_2i > r_{2j + 1}  
Q₅ Déterminer deux entiers p et q, 2 < p, q < 10000, p pair et q impair tels que r_p – r_q < 1/30
Source :olympiades internationales de mathématiques 2002 à Glasgow

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