Problème proposé par Bernard Vignes

Diophante écrit au tableau deux entiers distincts a₀ et b₀ tels que 1 < a₀  < b₀  puis demande à Zig et Puce de calculer, chacun sur une même ligne, le premier les nombres  a₁,a₂,…,a_k et le second les nombres b₁,b₂,….b_k tels qu’à la  i ^ème itération a_i et b_i  sont respectivement la moyenne arithmétique et la moyenne harmonique de a_i-1 et de b_i-1.
Q₁ Prouver que les deux suites {a_i} et {b_i} convergent vers une même limite L. A quelles conditions sur a₀ et b₀, L est-elle un nombre entier ?
Q₂ Diophante a choisi a₀ et b₀ de sorte que L=1001. Sachant que les entiers les plus proches des termes successifs a_i et b_i calculés par Zig et Puce prennent la même valeur L pour la première fois  à la dixième itération, déterminer b₀.

 Solution