Problème proposé par Michel Lafond

Dans le système décimal, un entier positif  ?  est appelé « kappa » si on sait trouver un entier naturel n tel que  ?  =  n / P(n) où P(n) désigne le produit des chiffres de n.
Exemple :  17  est un nombre « kappa »  car  17 = 816 / 48 avec P(816) = 48
Q₁ Je suis un entier naturel n dont le  produit de mes 7 chiffres est égal à = 27648  et auquel on peut associer un « kappa »  ? = n / 27648. Je suis à la tête d'une belle famille d'entiers qui me divisent tous et ont tous le même « kappa » que moi. L'un d'entre eux est 96 fois plus petit que moi.Trouver tous les membres de la famille ainsi que le « kappa » qui leur est commun.
Pour un entier positif  ?   donné, on définit sa famille  F (? )  comme l’ensemble des entiers positifs  n  auxquels on peut associer le même « kappa » ? .
Ainsi, la famille de  9  est  F (9) = {135 ; 144 ; 1575}  car 135/(1×3×5)=144/(1×4×4)=1575/(1×5×7×5)=9 et il n’y a pas d’autres nombres  n qui vérifient 9 = n / P(n) avec  ?  =  9.
Q₂ Donner les familles F(? ) pour ?  variant de 1 à 30.
Q₃ Démontrer que F (? )  est nécessairement un ensemble fini.

 Solution

Jean Moreau de Saint Martin,Maurice Bauval et Michel Lafond ont résolu le problème.