Q₁ On considère 120 entiers naturels positifs distincts â‰¤ 200. Montrer que parmi les différences entre le plus grand et le plus petit de ces entiers pris 2 à 2, on est certain de trouver tous les entiers < 60 à l’exception d’un entier appelé « franc-tireur » que l’on déterminera.
Q₂ On considère n entiers naturels positifs distincts â‰¤ 2014. Parmi les différences entre le plus grand et le plus petit de ces entiers pris 2 à 2, on est certain de trouver tous les entiers â‰¤ 60 à l’exclusion de l’entier « franc-tireur » 49. Déterminer n.

 Solution

Jean Moreau de Saint Martin,Francesco Franzosi,Patrick Gordon,Bernard Vignes,Pierre Henri Palmade et Paul Voyer ont déterminé respectivement l'entier 40 qui est le  franc-tireur de la première question et n = 1029 qui admet 49 comme franc-tireur < 60 dans la deuxième question.