| A408. Distances entières dans un triangle |
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| A4. Equations diophantiennes |
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Soient un triangle acutangle ABC et un point P en son intérieur. On recherche les triangles ABC dont les six distances BC,CA,AB,PA,PB et PC sont des nombres entiers distincts (propriété (Π)).
Q1 - P est l'orthocentre du triangle. 1 - Déterminer le triangle ABC qui a la propriété (Π) et dont l'aire est la plus petite possible. 2 - Démontrer qu'il existe une infinité de triangles ABC qui ont la propriété (Π) et dont l'aire est aussi un nombre entier. Donner l'exemple d'un triangle ABC dont l'un des côtes est égal à 2016. Q2 - P est le point de Fermat sous lequel on voit les trois côtés du triangle sous le même angle de 120°. 1 - Déterminer le triangle ABC qui a la propriété (Π) et dont l'aire est la plus petite possible. 2 - Existe-t-il une infinité de triangles ABC qui ont la propriété (Π) ? Solution Pierre Renfer,Michel Lafond,Jean Moreau de Saint Martin,Maurice Bauval,Pierre Henri Palmade,Claudio Baiocchi et Claude Becker ont résolu tout ou partie du problème. La question Q2 est extraite d'un article d'André Gérardin paru il y a un siècle sous le titre Distances en nombres entiers de trois points et de leur centre isogone à 120°.Notons au passage qu'André Gérardin a été l'animateur de 1948 à 1952 de la revue Diophante consacrée à la théorie des nombres. |
