Problème proposé par Bernard Vignes
 


Q₁ Une lame de scie à bois L₁ a les caractéristiques suivantes :
 - les dents (en nombre entier) ont la forme de triangles rectangles isocèles qui sont alignés le long du plus grand côté CD d’un trapèze droit ABCD (voir figure ci-dessus) et dont les côtés de l’angle droit sont  égaux à 1 centimètre (cm),
 - les dimensions AB,BC et AD s’expriment en nombres entiers de centimètres avec AD = 2BC,
 - la surface de la lame y compris celle des dents est de 275 cm².
Démontrer qu’il existe au moins une scie à bois dont la lame L1 a ces caractéristiques. On précisera le nombre de dents et les longueurs AB, BC et AD en cm.
Q₂ Une lame de scie à métaux  L₂ de même type que L₁ a les caractéristiques suivantes :
- les dents (en nombre entier) ont la forme de triangles isocèles dont la hauteur est le double de la base et la surface de chacune d’elles est de 0,8 mm²,
- les dimensions AB,BC et AD s’expriment en nombres entiers de millimètres avec AD = 2BC,
- la surface de la lame y compris celle des dents est de 8616 mm²
Démontrer qu’il existe au moins une scie à métaux dont la lame L₂ a ces caractéristiques. On précisera le nombre de dents et les longueurs AB, BC et AD en mm.

 Solution