A510. Les puissants se laissent manipuler Imprimer
A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n
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Par convention un nombre entier naturel positif n est appelé « puissant » si pour tout facteur premier p de n, p² divise aussi n. Ainsi 36 et 500 sont deux nombres puissants.
Montrer que chacun des entiers naturels de 1 à 21 peut être représenté par la différence de deux nombres puissants.
Pour les plus courageux : un entier naturel quelconque peut-il être représenté par la différence de deux nombres puissants?


 Solution


Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Henri Palmade,Maurice Bauval,Patrick Gordon et Bernard Grosjean ont trouvé des méthodes de calcul qui leur ont permis d'exprimer chacun des entiers naturels de 1 à 21 comme différence de deux nombres puissants et notamment les deux plus coriaces 6 = 73.54 - 4632 et 14 = 33.55.192 - 55192. Pour les premiers nommés, ces méthodes ont même pu être généralisées pour traiter la grande majorité des cas.
De leur côté Jean Drabbe,Daniel Collignon,Claudio Baiocchi,Paul Voyer et Antoine Verroken ont remarqué que les nombres puissants ont pour frères jumeaux dans le monde anglophone les "powerful numbers" qui font l'objet de nombreux articles dans lesquels des auteurs comme R.A. Mollin et P.G. Walsh ou W. McDaniel décrivent des algorithmes exprimant n'importe quel entier comme différence de deux nombres puissants.