Soit un entier p > 0 fixé à l’avance. On s’intéresse aux entiers n > 0 appelés « théâtrophiles »  qui sont présents à la fois à l’orchestre et au balcon et sont tels que pⁿ se termine par n.
Par exemple avec p = 3, l’entier 7 est théâtrophile car a⁷ = 2187 se termine par 7 et avec p = 5, l’entier 25 est théâtrophile car 5²⁵ = 298023223876953125 se termine par 25.
Q₁ 1^er cas : p = 2.
Trouver des entiers théâtrophiles a, b, c, a < b < c, tels que l’entier 2^a  se termine par a, l’entier 2^b  se termine par b et l’entier 2^c  se termine par c.[***]
Prouver qu’il existe une infinité d’entiers théâtrophiles  n tels que l’entier 2ⁿ se termine par l’entier n lui-même.[****]
Q₂ 2^ème cas : p = 3
Trouver des entiers théâtrophiles d, e, f, d < e < f, tels que l’entier 3^d  se termine par d, l’entier 3^e  se termine par e et l’entier 3^f  se termine par f.[***]
Prouver qu’il existe une infinité d’entiers théâtrophiles  n tels que l’entier 3ⁿ se termine par l’entier n lui-même.[****]

 Facultatif (à l’intention des plus courageux) : pour quelles valeurs de p sait-on trouver en représentation décimale une infinité d’entiers théâtrophiles n tels que les derniers chiffres de pⁿ donnent l’entier n lui-même ?[*****]

 Solution