Zig écrit au tableau noir une partition P des trente premiers entiers naturels 1,2,3,…,29,30 en quinze paires :
(7,22), (24,28), (11,16), (9,14),(2,23),(27,29),(5,15),(3,18),(8,13),(1,26),(12,19),(4,10),(21,30),(6,25),(17,20) et demande à Puce de choisir un entier dans chaque paire puis de calculer la somme des entiers ainsi retenus pour obtenir l’entier 229.
« Rien de plus facile » lui répond Puce.
Q₁ Confirmer la réponse de Puce en donnant une suite de 15 entiers extraits de ces 15 paires dont la somme est égale à 229.
Q₂ Prouver que Zig sait trouver une partition des trente premiers entiers naturels 1,2,3,…,29,30 en quinze paires  qui rend impossible l’obtention de l’entier 229 quels que soient les choix de Puce dans les 15 paires.
Q₃ Pour les plus courageux : soient deux entiers positifs m et n avec m > 1. Zig établit une partition des entiers 1,2,3,…,2m – 1, 2m en m paires puis Puce choisit un entier dans chaque paire et calcule la somme des entiers ainsi choisis. Prouver que Zig peut toujours trouver une partition  de m paires qui empêche Puce d’obtenir une somme égale à n.

 Solution