Zig constate que son ordinateur n’affiche plus le nombre π mais par bonheur la fonction ALEA() qui génère aléatoirement un nombre réel compris entre 0 et 1 marche encore.Il écrit alors un programme dans lequel il définit une variable Z égale à l’entier le plus proche du rapport de deux nombres réels X et Y choisis au hasard indépendamment l’un de l’autre grâce à la fonction ALEA().
Q₁ Quelle est la probabilité que Z soit un entier pair ?
Zig insère l’instruction qui donne Z dans une boucle qui comporte n = 10^k itérations.
Q₂ Trouver la valeur minimale de k qui donne à Zig 99 chances sur 100 d’obtenir une estimation du nombre π avec les six premiers bons chiffres 3,14159.

Solution

Jean Moreau de Saint Martin,

Michel Lafond,

Patrick Gordon,

Paul Voyer et

Jacques Guitonneau ont résolu le problème en retrouvant la formule chère à Leibniz π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 ...
La probabilité que Z soit un entier pair est égale à (5 - π) / 4 = 0,464601.. et avec 10¹³ itérations Zig a plus de 99 chances sur 100 d'obtenir une estimation de π avec les 6 premiers chiffres exacts.
Par ailleurs,sur son site Bienvenue en Mathématiques magiques,Thérèse Eveilleau a conçu une nouvelle animation pour simuler les itérations effectuées par Zig sur son ordinateur. Avec la magie du hasard et...de Leibniz, on observe les valeurs pas à pas de l'entier le plus proche des rapports X/Y et les estimations de π qui en découlent et s'améliorent avec un nombre croissant d'itérations.