G242. Comment gagner 1000 euros Imprimer
G2. Combinatoire - Dénombrements

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Dans ce jeu radiodiffusé où vous pouvez gagner mille euros, l'animateur vous présente dix nombres entiers distincts tirés au hasard entre 1 et 100 inclus et vous avez une minute pour repérer parmi eux deux ensembles disjoints* tels que les sommes de leurs éléments sont identiques.Vous êtes un grand champion du calcul mental. Démontrer que vous êtes certain de gagner.

 

Pour les plus courageux:que se passe-t-il si au lieu de dix nombres,l'animateur vous en présente neuf ? huit ?

 

*dont l'union ne donne pas nécessairement les dix nombres.


 Solution


Jean Moreau de Saint Martin,Daniel Collignon,Pierre Jullien,Philippe Bertran,Paul Voyer et Michel Lafond ont tous fait appel au principe des tiroirs pour démontrer que pour n = 10, il est toujours possible de gagner.
Pour n = 8, Jean Moreau de Saint Martin, Daniel Collignon, Philippe Bertarn et Michel Lafond ont donné des exemples d'ensembles de huit entiers qui ne permettent pas de trouver deux sous-ensembles disjoints de même somme:(40,60,71,77,80,82,83,84),(36,68,84,92,96,98,99,100) et (1,2,12,24,,48,92,96,100)
Pour n = 9, Jean Moreau de Saint Martin fait remarquer que le problème a été analysé dans le numéro 18 de la revue Quadrature, pages 33-36.De cette étude, il ressort qu'avec 9 nombres, il existe toujours deux sous-ensembles de même somme.Jean Moreau de Saint Martin donne quelques indications dans l'annexe de sa solution.