Les heureux candidats admis au concours de l’IHED (Institut des Hautes Etudes Diophantiennes) sont réunis dans une salle contenant n rangées de n sièges formant un carré (n ? 3). Chacun porte un badge sur lequel figure son rang d’entrée (il n’y a aucun ex-aequo) et s’installe à la place qui lui est assignée. On admet que chaque candidat est satisfait de la place qu’il occupe si au plus un de ses voisins - quatre au maximum et deux au minimum - situés à sa gauche ou à sa droite ou juste devant lui ou juste derrière lui, a un meilleur rang d’entrée que lui. Afin de ménager au maximum les susceptibilités, l’organisateur de la réunion a fait en sorte que le nombre de personnes insatisfaites n_I  est le plus petit possible.
Q₁ Sachant que n_I  = 28, déterminer n.
Q₂ Pour cette valeur de n, donner un plan d’affectation possible des places selon le rang d’entrée des candidats.

 Solution

On démontre que le nombre de candidats satisfaits est au plus égal à la partie entière de (2n² + 2n - 2) / 3. Il en résulte qu'on peut dénombrer au moins 28 candidats insatisfaits dans une salle de 10 x 10 = 100 sièges.Bernard Vignes et Jean Nicot ont donné des plans d'affectation possibles avec respectivement 28 et 29 candidats insatisfaits.