| D180. Une belle collection d'angles |
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| D1.Géométrie plane : triangles et cercles |
 
Les angles aux sommets B et C d'un triangle ABC valent respectivement 80° et 60°. Sur la droite BC, on trace le point D de l'autre côté de B par rapport à C tel que l'angle ADB est égal à 40°.On porte sur le côté AC entre A et C le point E tel que l'angle ABE est égal à 10°. A l'intérieur du segment BE, on trace le point F tel que l'angle ACF est égal à 20°. Sur le droite AF on porte le point G du même côté que F par rapport à BC tel que CG = CD.Enfin à l'intérieur du segment BC, on trace le point H tel que EH + HB = EC + CH. Trouver les trois angles que font respectivement les droites AF, CG et EH avec la droite BC. Nota : une solution purement géométrique est évidemment la bienvenue.
SolutionCe problème comporte trois questions sur des mesures d'angles qui pourraient être traitées indépendamment les unes des autres. Elles sont regroupées car elles ont en commun de faire intervenir des angles qui sont des multiples de 10°. Or l'octodécagone, polygone régulier à 18 côtés, a la caractéristique de fournir tous les angles de la forme 1Ok° (k = 1,2,....,18) quand on regarde une corde joignant deux sommets à partir du centre du cercle circonscrit au polygone ou d'un troisième sommet.Pierre Jullien a donné pour les deux premières questions une solution géométrique qui utilise les propriétés remarquables de ce polygone.Une autre solution est également accessible.On note enfin la parenté de ce problème avec D140-Un vrai feu d'artfices. Jean Moreau de Saint Martin et Patrick Gordon ont aussi résolu le problème en privilégiant l'approche par la trigonométrie.
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