D1921. Un concours de symétries (3ème épisode) Imprimer
D1.Géométrie plane : triangles et cercles
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Problème proposé par Dominique Roux
On donne dans le plan 4 points A,B,C,D. On prend les symétriques d'une droite variable L passant par D, par rapport à chacun des 3 côtés du triangle ABC.
On obtient ainsi un nouveau triangle A'B'C'. Montrer que, lorsque L pivote autour de D
1) La droite d'Euler du triangle A'B'C' passe par un point fixe.
2) Le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre de A'B'C' décrivent chacun un cercle.
3) Ces trois cercles ont deux points communs.


 Solution


Claude Felloneau et Pierre Henri Palmade ont résolu le problème.
Michel Vanel apporte le commentaire suivant:
En rapport avec le problème posé, voici une propriété géométrique tirée du livre de Trajan Lalesco «la géométrie du triangle» page 99. L’auteur indique : le triangle A’B’C’ est semblable au triangle orthique et le centre de son cercle inscrit se trouve sur le cercle circonscrit du triangle ABC. De plus, ce point est le centre de perspective des sommets des triangles ABC et A’B’C’ (démonstration succincte).
Après avoir tracé les cercles capables d’angles respectifs Pi-2A, Pi-2B, Pi-2C sur les segments GF, GE, EF on construit tout triangle A’B’C’ en prenant un point quelconque sur le cercle circonscrit et en projetant les sommets A, B, C sur les arcs de cercles correspondants pour trouver A’, B’, C’. Si ce point de perspective est K (centre de similitude), A’B’C’ se réduit en un point.