D1958. Concours et alignement - D1958. Concours et alignement D1. Géométrie p... | Les jeux mathématiques de Diophante, plus

Dans un triangle ABC, O est le centre du cercle circonscrit (Γ), H est l’orthocentre, D est le pied de la hauteur issue de A sur la droite (BC) et E celui de la hauteur issue de B sur la droite (AC). P et Q sont les projections de D sur les droites (AB) et (AC). Les droites (OH),(DE) et (PQ) sont concourantes en un point M.
Q₁ Déterminer la valeur de l’angle ACB.
Q₂ Démontrer que lorsque M se trouve sur le cercle (?), les symétriques des sommets du triangle ABC par rapport aux côtés opposés sont alignés.

Solution

Pierre Renfer,

Pierre Henri Palmade,

Maurice Bauval,

Jean Moreau de Saint Martin et

Michel Rome ont résolu le problème. Lors de la résolution de Q₁, ils ont noté que l'angle ACB peut prendre une valeur quelconque si le triangle ABC est isocèle de sommet C. Dans le cas d'un triangle ABC scalène, l'angle ACB prend les valeurs π/4 ou 3π/4.