Problème proposé par Dominique Roux
On donne deux points A et C. Pour tout point B soit D sa projection orthogonale sur AC. On note I et E les centres des cercles inscrits dans les triangles ABC et ABD et F' le centre du cercle exinscrit dans l'angle B du triangle BCD. On supposera que D n'est pas entre A et C.
1) Montrer l'équivalence des 3 propriétés:
a) Le cercle ( IEF' ) est centré sur AC.
b) EF' est perpendiculaire à AC.
c) Le milieu de EF' est sur AC.
2) Montrer qu'alors le lieu de B est inclus dans la courbe d'équation x²(y + 2) = 2(y + 1)² rapportée au repère orthonormé pour lequel les coordonnées de A sont (-1,0) et celles de C sont (1,0) et montrer que la différence des pentes des droites AI et CI est constante.