D1990. Un zeste de calcul Imprimer
D1.Géométrie plane : triangles et cercles

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Soit un triangle ABC dont les côtés BC,CA et AB ont pour longueurs a,b,c. Les points P et Q sont les projections orthogonales de B et de C sur la bissectrice intérieure (L) de l’angle en A.  La parallèle au côté AB passant par P coupe la parallèle au côté AC passant par Q au point R. Soit S le point symétrique de R par rapport à (L). Calculer la longueur du segment AS en fonction de a,b,c.

 Solution


pdfPierre Henri Palmade,pdfMaurice Bauval,pdfPaul Voyer,pdfMarc Humery,pdfJean Nicot,pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfGaston Parrour,pdfSylvain Pont,pdfPierre Renfer,pdfMarie-Christine Piquet,pdfAntoine Verroken,pdfFrancesco Franzosi et pdfPhilipe Laugerat ont résolu le problème.
Remarque: l'introduction du point S semble,a priori, superflue car si l'on connaît AR, on déduit trivialement AS = AR.
Le titre du problème suggère que les calculs soient limités au maximum (un zeste, pas plus!). Un raisonnement géométrique sans le monidre calcul fait apparaître que S est milieu du côté BC. Dès lors le calcul de AS revient  à appliquer la formule bien connue de la longueur d'une médiane dans un triangle en fonction des longueurs des côtés.