C'est la première fois qu'un problème de géométrie rencontre un tel succès auprès de nos lecteurs avec 24 réponses:

Thérèse Eveilleau,

Catherine Nadault,

Jean Moreau de Saint Martin,

Jean-Louis Legrand,

Fabien Gigante,

Michel Goudard,

Pierre Henri Palmade,

Darias Abdelali,Yannick Huet et Elie Stiinès ont prouvé qu'il n'existe pas de triangle ABC satisfaisant les conditions de l'énoncé.
On peut noter que le triangle devient constructible dès qu'on modifie légèrement le périmètre p en laissant le rayon R du cercle circonscrit et r le rayon du cercle inscrit inchangés.
Ainsi avec p 134,2 cm, R = 27 cm et r = 12, l'inégalité de Blundon qui est une CNS de l'existence du triangle ABC est satisfaite:
2R² + 10Rr – r²– 2(R – 2r)√(R²–2Rr) ≤ p²/4 ≤ 2R² + 10Rr – r²+ 2(R – 2r)√(R²–2Rr)
soit 18000 < 134.2² = 18009.64 < 18432

Solution