Problème proposé par Jean-Louis Breuil

Soient un triangle ABC et le centre O de son cercle circonscrit (Γ).
A₁ et A₂ sont respectivement les points d'intersection de la médiatrice de BC et des droites (AB) et (AC),
B₁ et B₂ sont respectivement les points d'intersection  de la médiatrice de CA et des droites (BC) et (BA),
C₁ et C₂ sont respectivement les points d'intersection  de la médiatrice de AB et des droites (CA) et (CB)
On trace les quatre paires de cercles circonscrits aux triangles A_i B_j C_k et A_3-i B_3-j C_3-k pour i = 1,2; j = 1,2 et k =1,2. Par exemple A₁B₁C₁ et A₂B₂C₂, A₁B₁C₂ et A₂B₂C₁, etc...
Q₁ Prouver que les centres correspondants de ces cercles  sont alignés avec le point O
Q₂ Prouver que lorsque l'une quelconque de ces quatre paires de cercles a des points d'intersection réels, ceux-ci sont situés sur le cercle (Γ).
Existe-t-il une configuration dans laquelle on a huit points d'intersection réels sur ce cercle (Γ) ?

 Solution