On considère l'ensemble E appelé « treillis Â» des points à coordonnées entières positives du plan. Existe-t-il un triangle équilatéral dont les sommets appartiennent à E ?

 

Chacun des points de E est le centre d'un disque de rayon r quelconque > 0. Existe-t-il un triangle équilatéral dont les sommets appartiennent à trois disques distincts ?

 

Existe-t-il un triangle équilatéral de côté entier inférieur à 125 dont les sommets appartiennent à trois disques distincts de rayon r égal à 0,003 ?

Source : présélection pour les Olympiades internationales de mathématiques

 Solution