D247. Des polygones qui s'ignorent Imprimer
D2. Géométrie plane : autres problèmes
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Je trace 2009 points dans le plan de telle sorte que trois d'entre eux ne sont jamais sur la même droite. Quel est le nombre maximum de polygones convexes qui ont tous le même nombre de côtés, qui n'ont aucun point commun entre eux et dont les sommets sont confondus avec ces 2009 points ? Même question quand les polygones n'ont pas nécessairement le même nombre de côtés.

 

 Solution

Jean Moreau de Saint Martin et Jean François Parriaud ont répondu au problème.
L'énoncé comporte une ambiguïté: on peut considérer que les points sont donnés a priori ou sont tracés au fur et à mesure de la construction des polygones. Dans ce dernier cas, on sait construire 287 heptagones convexes. A l'inverse la construction de ces heptagones convexes devient impossible siles points sont donnés a priori. Il faudrait l'hypothèse de convexité pour rendre la constructio à nouveau possible.