D264. Incursion erdösienne en géométrie Imprimer
D2. Géométrie plane : autres problèmes

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On considère un quadrilatère convexe ABCD inscrit dans un cercle de rayon 2 et un point P intérieur à ce quadrilatère (côtés inclus). Déterminer la borne supérieure du produit PA.PB.PC.PD.
Pour les plus courageux:
On considère un polygone convexe de n côtés A1,A2,....,An inscrit dans un cercle de rayon n et un point Q intérieur à ce polygone (côtés inclus). Déterminer la borne supérieure du produit QA1.QA2....QAn
Source: d'après un problème proposé par Paul Erdös en 1993.

 Solution



pdfFabien Gigante,pdfGaston Parrour,pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfBernard Vignes,pdfPierre Leteurtre,pdfPierre Jullien et pdfPaul Voyer ont obtenu la même valeur 27 comme borne supérieure du produit PA.PB.PC.PD et 2n(n-1)n-1 comme borne supérieure du produit QA1.QA2....QAn.
Le problème posé par Paul Erdös en 1993 consistait à déterminer la borne supérieure du produit PA.PB.PC calculé à partir d'un point P intérieur à un triangle ABC inscrit dans un cercle de rayon r. Dans ce cas, la borne supérieure est égale à 32r3/27.
De manière générale avec un polygone convexe de n côtés inscrit dans un cercle de rayon n, la borne supérieure du produit QA1.QA2....QAnest égale à (n-1)n-1.(2r/n)n.