Mes petits-enfants Eliott et Céline ont chacun une belle collection, l'un de calots en agate, l'autre de micro-billes métalliques.

Eliott a empilé 14 calots d'un côté et 10 calots de l'autre (voir illustrations ci-après). On s'intéresse aux deux "pyramides des centres" suivantes :

-          P1 (14 calots) a pour sommet S, centre du calot le plus haut placé, et pour base le carré ABCD des centres des calots situés aux quatre coins du carré.

-          P2 (10 calots) a pour sommet S', centre du calot le plus haut placé, et pour base le triangle A'B'C' des centres des calots situés aux trois sommets du triangle équilatéral.

On définit la densité d'un empilement par le taux d'occupation de la pyramide par les sphères et les parties de sphères qui y sont contenues.

Quel est l'empilement le plus dense ?

 
Empilement P1                Empilement P2                            

Céline de son côté a fabriqué une jolie boîte cubique de 21 cm de côté.




Elle la remplit d'abord avec ses micro-billes toutes identiques en couches successives dans lesquelles les billes sont disposées en carré. Afin de mesurer le coefficient d'occupation correspondant, elle complète le remplissage de la boîte avec de l'eau dont elle mesure le volume V₁.

Elle remplit à nouveau la boîte avec ses billes en adoptant le mode de remplissage le plus dense possible puis elle mesure le volume d'eau V₂ qui permet de remplir complètement la boîte.

Quelle économie d'eau (arrondie au cm³ le plus proche) le deuxième mode de remplissage a-t-il permis de réaliser par rapport au premier ?

Nota : on suppose que les billes sont suffisamment petites pour que, lors du remplissage de la boîte, les ajustements éventuels sur les bords et les coins soient sans incidence sur les valeurs de V₁ et V₂.

 Solution