On dispose d’un papier quadrillé fait de carrés unité et supposé illimité en taille sur lequel on dessine le motif initial avec cinq petites croix :

 



On commence une promenade en ajoutant une petite croix de sorte qu’elle donne un alignement de trois croix adjacentes avec deux croix déjà inscrites.On trace alors le segment de longueur 2 ou 2√2  qui passe par ces trois croix et la durée de la promenade est égale à 1.La droite  qui porte le segment peut être horizontale, verticale ou diagonale. Chaque fois que l’on ajoute une croix, on trace un seul segment parmi tous les segments susceptibles d'être tracés. La durée de la promenade est alors incrémentée d’une unité.
Deux segments peuvent se croiser ou se toucher par l’une de leurs extrémités à condition qu’ils ne soient pas sur la même droite.
A titre d’exemple, une promenade dont la durée est de 8 est illustrée ci-après :

 
Q₁ Démontrer qu’il est possible d’effectuer une promenade dont la durée est un entier quelconque,2014 par exemple. [**]

Q₂ Démontrer qu’il est possible d’effectuer une promenade d’une durée finie avec laquelle il est impossible d’ajouter une nouvelle croix [****]. Trouver la plus petite durée finie possible [*****].

 Solution

Les lecteurs trouveront sur le site http://www.morpionsolitaire.com/ que Christian Boyer a consacré au morpion solitaire, de longs développements sur le jeu dans sa forme la plus connue des cinq petites croix à aligner mais aussi des analyses de multiples variantes dont la "3D/3T fini" qui fait l'objet de cette énigme J134.
Christian Boyer a réussi à trouver une durée de promenade de 23 coups seulement. Le problème reste ouvert mais il paraît vraiment très difficle de faire mieux quand le minimum théorique est de 21 coups.