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On fixe deux entiers k ≥ 1 et A > 0.
On recherche des suites de n entiers positifs ui (i = 1,2,3,….n) strictement croissantes telles que :
- un ≤ A,
- quel que soit i,1 ≤ i ≤ n – k, ui divise ui+k.
Ces suites sont appelées (k,A)-harmonieuses.
Par exemple :
- avec k = 1 et A = 150, la suite des sept entiers 1,2,4,8,16,32,64,128 est (1,150)-harmonieuse avec u1 = 1 qui divise u2 = 2 qui divise u3 = 4 qui divise u4 = 8 etc… et u7 = 128 < 150
- avec k = 2 et A = 90, la suite des huit entiers 1,2,5,6,10,18,40,90 est (2,90)-harmonieuse. Avec u1 = 1 qui divise u3 = 5 qui divise u5 = 10 qui divise u7 = 40 et u2 = 2 qui divise u4 = 6 qui divise u6 = 18 etc.. et u8 = 90
Q1 Pour k prenant respectivement les valeurs 3,4,5,6,7,8,9 déterminer le plus grand nombre possible de termes contenus dans les suites (k,2025)-harmonieuses et pour chaque valeur de k donner un exemple de telles suites.
Q2 Déterminer la plus petite valeur de k avec laquelle on sait trouver une suite (k-2025)-harmonieuse qui contient au moins 100 termes.
Solution
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