E658. Le rouge et le noir - E658. Le rouge et le noir E6. Autres casse-têt... | Les jeux mathématiques de Diophante, plus de

Deux polygones convexes P₁ et P₂ ,chacun de n côtés étiquetés i=1,2,..n et j=1,2,...n, sont situés dans deux plans distincts de l’espace. On considère l’ensemble E des segments de droite qui relient chacun des sommets de P₁aux sommets de P₂ . Tous ces segments ainsi que les arêtes des deux polygones sont tracés à l’encre noire ou à l’encre rouge de telle manière qu’il n’y a pas un seul triangle monochromatique parmi tous les triangles dont un côté est une arête d’un polygone et les deux autres côtés font partie de E.
On trace à l’encre rouge l’arête n°1 de P₁. Donner pour chacun des deux cas 1) n = 2012 et 2) n = 2013 la couleur de l’arête n°1783 de P₁ et celle de l’arête n°1842 de P₂ .
Nota pour mémoire : Marie-Henri Beyle dit Stendhal, né le 23 janvier 1783 à Grenoble est mort le 23 mars 1842 à Paris.

Solution

Jean Moreau de Saint Martin a résolu le problème en traitant de manière très complète tous les cas possibles: les 2 polygones convexes ont le même nombre de côtés (respectivement 2012 et 2013) puis le polygone P₁ a 2012 côtés et P₂ a 2013 côtés et vice-versa.
Daniel Collignon et Philippe Laugerat ont remarqué que le coloriage rouge de tous les côtés des deux polygones convient avec, par exemple, un coloriage noir pour tous les éléments de E mais on peut aussi colorier en rouge des élements de E dès lors qu'il n'y en a pas deux qui soient adjacents.
Le coloriage monochromatique des côtés des polygones est unique quand les deux polygones ont 2013 côtés et c'est un coloriage parmi bien d'autres quand les deux polygones ont 2012 côtés.
Dans le document E658-Le_rouge_et_le_noir-solution.pdf ,on étudie pour commencer les deux cas particuliers où P₁ et P₂ sont respectivement deux triangles (n=3) puis deux quadrilatères (n=4) et l'on démontre ensuite par récurrence que le traitement des polygones ayant tous les deux un nombre impair de côtés se ramène au cas n=3 et celui des polygones ayant tous les deux un nombre pair de côtés se ramène au cas n=4.