| A1969. Des diviseurs à la pelle |
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| A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri |
 
Q1- Cet entier A a exactement 40000 diviseurs qui sont strictement supérieurs à 1. Prouver que A est le carré d'un carré parfait. Q2- Cet autre entier B est de la forme 2n + 1 avec n égal au produit de 10 nombres premiers distincts strictement supérieurs à 3. Prouver que B a plus d'un million de diviseurs. SolutionJean Moreau de Saint Martin,Daniel Collignon,Patrick Gordon et Philippe Laugerat ont répondu aux deux questions. Par ailleurs Daniel Collignon signale que la deuxième question est un problème qui figure dans la liste finale retenue pour les Olympiades Internationales de Mathématiques de 2002. Le résultat peut être étendu à 2^(2^n-1) diviseurs à l'aide des polynômes cyclotomiques. Références : http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/2002_IMO_Shortlist_Problems/N3 http://www.ajorza.org/wimo/images/mathfiles/files/imoshortlist/scansod/imo2002s_sol.pdf http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=17326 |