A113. La séquence des multiples des nombres premiers - A113. La séquence des multiples des nombres pr...

On considère les entiers naturels commençant par 4 chiffres ABCD et se prolongeant par les entiers à 4 chiffres de la forme BCDE,CDEF,DEFG,...ou à 3chiffres si B est nul dans BCDE ou si C est nul dans CDEF.... tels que chacun d'eux soit un multiple d'un même nombre premier p.

Quelles sont les séquences les plus longues pour p = 11, 13, 17, 19,23,29,31,37? Quelles séquences aboutissent à des boucles?

Source : d'après Mathpuzzle.com (avril 2004)

Solution

p=11 la séquence est une boucle de 5 termes 1122 ,1221,2211,2112 et de nouveau 1122 ou encore en admettant qu'elle peut dégénérer en des nombres à 3 ou 2 chiffres : 1001,11,110,1100 et de nouveau 1001.

p=13 la séquence est une boucle de 13 termes : 1196, 1963, 9633, 6331, 3315, 3159, 1599, 5993, 9932, 9321, 3211, 2119 et de nouveau 1196 ou encore en admettant qu'elle peut dégénérer en des nombres à 3 ou 2 chiffres :1001, 13, 130, 1300, 3003, 39, 390, 3900, 9009, 91, 910, 9100 et de nouveau 1001

p=17 la séquence la plus longue est de 8 termes : 9996, 9962, 9622, 6222, 2227, 2278, 2788, 7888

p=19 la séquence la plus longue est aussi de 8 termes : 7771, 7714, 7144, 1444, 4446, 4465, 4655, 6555

p=23 la séquence la plus longue est de 9 termes en admettant qu'elle peut dégénérer en des nombres à 3 chiffres: 3404, 4048, 483, 4830, 8303, 3036, 368, 3680, 6808

p=29 la séquence la plus longue n'a plus que 4 termes : 4553, 5539, 5394, 3944

p=31 la séquence la plus longue est de 9 termes en admettant qu'elle peut dégénérer en des nombres à 3 chiffres : 7099, 992, 9920, 9207, 2077, 775, 7750, 7502, 5022

p=37 ce nombre premier se caractérise à la fois par une boucle très courte 4033,333 et une séquence de 5 termes : 4884, 8843, 8436, 4366 et 3663 .On peut aussi mentionner une séquence où figurent des nombres à 4 puis 3 et enfin 2 chiffres : 4070, 703, 37, 74.