A1711. Une vraie chinoiserie (1) - A1711. Une vraie chinoiserie (1) A. Arithmetiqu...

On considère les k entiers relatifs a₁, a₂,...,a_k ≥– 1 tels que a₁ + a₂ + ... + a_k = k.

Déterminer les valeurs minimales et maximales de P = (a₁ + a₂).(a₂ + a₃)...(a_k-1 + a_k).(a_k + a₁) dans les cas suivants :

Q₁ k est impair et prend successivement les valeurs 3,5,7,9.
Pour les plus courageux, traiter le cas général k = 2p + 1.

Q₂ k est pair et prend successivement les valeurs 4,6,8,10.
Pour les plus courageux, traiter le cas général k = 2p.

⁽¹⁾Source : Olympiades de mathématiques 2019 en Chine.

Solution

Paul Voyer,

Michel Boulant,

Pierre Henri Palmade,

Daniel Collignon et

Diophante ont traité tout ou partie du problème.
Nota: ce problème est une variante du premier problème des Olympiades de mathématiques 2019 en Chine disponible à l'adresse suivante de l'AoPS: https://artofproblemsolving.com/community/c6h1738323p11293503

Il était ainsi libellé:

Le problème était donc posé pour la seule valeur k = 5 mais les commentaires sur le forum de l'AoPS laissaient entendre qu'il existait des formules générales donnant P en fonction de la parité de k.
Avec les premières valeurs de k, il semble que des formules générales puissent être établies. Mais dès qu'on retient des valeurs supérieures, ces formules ne sont plus pertinentes.Tout au plus on peut émettre des hypothèses sur le distribution des a_i comme l'ont fait Paul Voyer et Michel Boulant.