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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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A1711. Une vraie chinoiserie (1) Imprimer Envoyer
A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri

calculator_edit.png computer.png  

On considère les k entiers relatifs a1, a2,...,ak ≥– 1 tels que a1 + a2 + ... + ak = k.

Déterminer les valeurs minimales et maximales de P = (a1 + a2).(a2 + a3)...(ak-1 + ak).(ak + a1) dans les cas suivants :

Q1 k est impair et prend successivement les valeurs 3,5,7,9.
Pour les plus courageux, traiter le cas général k = 2p + 1.

Q2 k est pair et prend successivement les valeurs 4,6,8,10.
Pour les plus courageux, traiter le cas général k = 2p.

(1)Source : Olympiades de mathématiques 2019 en Chine.


Solution


pdfPaul Voyer,pdfMichel Boulant,pdfPierre Henri Palmade,pdfDaniel Collignon et pdfDiophante ont traité tout ou partie du problème.
Nota: ce problème est une variante du premier problème des Olympiades de mathématiques 2019 en Chine disponible à l'adresse suivante de l'AoPS: https://artofproblemsolving.com/community/c6h1738323p11293503

Il était ainsi libellé:image007
Le problème était donc posé pour la seule valeur k = 5 mais les commentaires sur le forum de l'AoPS laissaient entendre qu'il existait des formules générales donnant P en fonction de la parité de k.
Avec les premières valeurs de k, il semble que des formules générales puissent être établies. Mais dès qu'on retient des valeurs supérieures, ces formules ne sont plus pertinentes.Tout au plus on peut émettre des hypothèses sur le distribution des ai comme l'ont fait Paul Voyer et Michel Boulant.
 
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