La série

Il est bien connu que :

• la série harmonique pour n variant de 1 à l'infini est divergente,
• la série dite d'Euler vaut /6
• la série vaut /90

Il n'existe pas de formule équivalente donnant . Pouvez-vous la trouver ? On sait, mais seulement depuis 1978 (Roger Apéry), que c'est un irrationnel.

Les membres d'un couple de nombres entiers (a,b) sont qualifiés de nombres « aimables Â» si la somme des diviseurs de a (a exclu mais 1 compris) est égale à b et si la somme des diviseurs de b (b exclu mais 1 compris) est égale à a. L'exemple des valeurs les plus petites est constitué par le couple (220,284) qui a été signalé il y a fort longtemps par Platon. On connaît un très grand nombre de tels couples numériques. Une formule générale avec laquelle ces nombres sont susceptibles d'être calculés, a été découverte aux environs des années 850 par Thabit ibn Qurra (826-901).

Si p = , q = et r = où n >1 est entier, p,q et r sont des nombres premiers, alors .pq et .r constituent une paire de nombres « aimables Â». Grâce à cette formule, on obtient la paire (220,284) déjà mentionnée, puis (17296,18416) et (9363584, 9437056) mais la paire (6232, 6368) n'est pas donnée par cette formule?

Existe-t-il une infinité de nombres aimables ?

Il est bien connu que et e sont l'un et l'autre deux nombre transcendants et de ce fait sont irrationnels, c.a d. qu'ils ne s'expriment pas sous la forme du rapport de deux nombres entiers. Que peut-on dire de leur somme +e ? Est-elle rationnelle ou irrationnelle ? On penche évidemment pour une somme irrationnelle mais la démonstration reste à faire?.

La question se pose aussi pour la distinction entre irrationnel algébrique et nombre transcendant : voir le problème A20118

On considère un nombre entier quelconque à deux chiffres ou plus et on ajoute à ce nombre le nombre obtenu en inversant l'ordre des chiffres. On répète l'opération avec la somme ainsi obtenue jusqu'à ce qu'on obtienne un nombre palindrome dont l'écriture de gauche à droite est la même que de droite à gauche.

Exemple : 167 donne 88555588 en 10 itérations :

167 + 761 = 928  928 + 829 = 1757  1757 + 7571 = 9328 9328 + 8239 = 17567 17567 + 76571 = 94138 94138 + 83149 = 177287 177287 + 782771 = 960058 960058 + 850069 = 1810127  1810127 + 7210181 = 9020308  9020308 + 8030209 = 17050517  17050517 + 71505071 = 88555588 qui est bien un nombre palindrome.

Après 9 480 000 itérations, 196 est toujours réfractaire pour donner un nombre palindrome. Est-ce vrai pour une infinité d'itérations ?

Existe-t-il une infinité de carrés parfaits qui s'expriment avec seulement deux chiffres comme ?

Attention : les deux chiffres doivent être différents de 0***.

Un nombre parfait est égal à la somme de ses propres diviseurs, le nombre lui-même étant évidemment exclu. Par exemple 6 = 1+2+3 et 28 = 1+2+4+7+14 sont des nombres parfaits.

Les nombres parfaits pairs sont de la forme 2^p-1(2^p-1) avec la condition que p et le nombre de Mersenne 2^p-1 sont des nombres premiers.

En janvier 2016, 49 nombres premiers de Mersenne étaient connus, le plus grand étant 2^{74 207 281}-1. Sa représentation décimale comporte 22 338 618 chiffres. Comme plusieurs de ses prédécesseurs, il a été découvert par un calcul distribué sous l'égide du projet GIMPS, Great Internet Mersenne Prime Search (qui signifie « grande recherche par Internet de nombres premiers de Mersenne Â»)
Pour plus de détails se reporter à :http://www.mersenne.org/prime.htm et http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier_de_Mersenne

Aucun nombre parfait impair n'est connu à ce jour. En existe-t-il ? S'il existe, il est somme de deux carrés (problème A10254). Mais on a prouvé qu'il a plus de 150 chiffres !