Soient :
φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.
σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.

Q₁ Avec 20! qui désigne la factorielle de 20, dans chacun des neuf cas ci-après, trouver le plus grand nombre premier p tel que :
p divise φ(20!), p² divise φ(20!), p³ divise φ(20!),
p divise σ(20!), p² divise σ(20!), p³ divise σ(20!),
p divise τ(20!), p² divise τ(20!), p³ divise τ(20!).

Q₂ Avec 95! qui désigne la factorielle de 95, dans chacun des quatre cas ci-après, trouver le plus grand nombre premier q tel que : q divise φ(95!), q² divise φ(95!), q³ divise φ(95!), q⁴ divise φ(95!).

   

S est un ensemble de r ≥ 2 nombres entiers strictement positifs distincts :{a₁,a₂,….,a_r}.
Pour tout sous-ensemble A non vide{a_i,a_j,….a_k} de S, on calcule le produit⁽¹⁾ de ses éléments, soit p(A) = a_i.a_j.....a_k.
On désigne par m la moyenne arithmétique de ces produits calculés sur tous les sous-ensembles non vides de S. m est un nombre entier qui obéit à la double inégalité 5 < m < 10.
On ajoute à S  un entier a_r+1 strictement positif et distinct des r éléments de S. On obtient l’ensemble S’ de r + 1 éléments à partir duquel on calcule comme précédemment la moyenne arithmétique m’ équivalente à m. On obtient m’ = m².
Q₁ Déterminer r et les entiers qui composent S.
Q₂ Démontrer qu’il existe au moins un entier a_r+2 qui ajouté à S’ donne un ensemble S’’ de termes strictement positifs distincts tel que la moyenne arithmétique m’’ calculée dans les mêmes conditions que m et m’ est encore un nombre entier.
⁽¹⁾Nota : si A : {a_i}, le produit est réduit à l’élément a_i et p(A) = a_i.

   

On recherche les entiers n ≥ 3 tels qu’on sait établir une partition (P) de l’ensemble des entiers naturels de 1 à n en plusieurs sous-ensembles disjoints qui contiennent chacun au moins trois termes de sorte que dans chacun d’eux le plus grand terme est égal à somme des autres termes.
Q₁ Prouver qu’il existe sept valeurs de l’entier n ≤ 25 pour lesquelles on sait établir une partition (P) de l’ensemble des entiers naturels de 1 à n.
Q₂ Existe-t-il une infinité dénombrable de valeurs de n avec lesquelles on sait établir une partition (P) ?

On choisit les points D,E,F sur les côtés BC,CA et AB d’un triangle ABC de sorte que :
1) les rapports BD/DC, CE/EA et AF/FB sont égaux à une même valeur r,
2) l’aire du triangle ABC vaut 37 fois l’aire du triangle GHI dont les sommets G,H,I sont respectivement à l’intersection des segments AD et BE,BE et CF,CF et AD.
Déterminer r et en déduire un découpage du triangle ABC en 37 triangles de même aire.

   

En Tripalie*, l’Assemblée des mille Sages est amenée à se prononcer sur la (n+k)ième réforme des retraites à l’issue de trois lectures du projet de loi.
D’une lecture à l’autre les trois quarts des Sages votent toujours dans le même sens (soit pour, soit contre) tandis que dans le quart restant chacun des Sages est versatile et change d’avis d’une lecture à l’autre avec la même probabilité p supposée constante d’un vote à l’autre.
On constate que 5% de ceux qui ont voté dans le même sens à l’issue des deux premières lectures ont changé d’avis lors de la troisième lecture par rapport à la seconde.
Déterminer p.
*Nota : Dans ce pays imaginaire (?) le travail est considéré comme une torture. Son nom Tripalie est dérivé du mot latin « tripalium » dont les racines sont « tri / trois » et « palis/pieu » - littéralement  « trois pieux » et qui désigne un instrument de torture composé de trois barres de bois.

   

On dispose de 56 perles dont les poids respectifs sont de 1,2,3 …55, 56 grammes. Chacune d’elles a l’une des sept couleurs: noir, blanc, bleu, rouge, vert, jaune, violet et il y a huit perles de chaque couleur.
Prouver qu’on sait toujours répartir ces 56 perles en deux piles de même poids et chaque pile contient quatre perles de chaque couleur.
Application numérique
Le tableau ci-après donne une distribution des 56 perles selon leur couleur et leur poids.
 
Décrire une répartition de ces 56 perles en deux piles de même poids telles que chaque pile contient quatre perles de chaque couleur.
Source : Olympiades internationales de mathématiques (liste des problèmes présélectionnés)