Diophante choisit un nombre premier p < 50. Zig considère  les m multiples de 11 contenus dans l’intervalle fermé [p, p + 1000], les range par ordre croissant x₁< x₂ <….< x_m, puis calcule les m sommes cumulées X_i = x₁ + x₂ + ... + x_i. Parmi ces sommes, X₁₆ est la seule divisible par 100.Déterminer p, m et X_m.
Avec ce même nombre premier p et le même intervalle [p, p + 1000], Puce procède avec les n multiples de 13 : y₁ < y₂ < ... < y_n, puis calcule les n sommes cumulées Y_j = y₁ + y₂ + ... + y_j. Une seule de ces sommes est divisible par 100. Déterminer son rang puis n et Y_n..

Alice dans sa voiture, Bernard sur sa moto, Caroline sur sa mobylette et Daniel sur sa bicyclette circulent à vitesse constante sur la route nationale RN57 qui relie Besançon à Metz.
A midi, Alice qui roule à 90km/h en direction de Metz double Caroline qui roule à 30km/h puis elle rencontre* Daniel à 12h50 et enfin  Bernard à 13h. Ce dernier rencontre* un peu plus tard Daniel à 13h22 et Caroline à 13h36.
Q₁ A quelle heure Caroline rencontre-t-elle Daniel ?
Q₂ Dans quelles directions et à quelles vitesses roulent Bernard et Daniel ?

*Par convention, quand deux véhicules  se rencontrent soit ils se croisent (sens opposés) soit le plus rapide double l’autre (même sens)

On considère les entiers positifs N non divisibles par 10 qui contiennent exactement deux zéros en leur intérieur. Après suppression de ces deux zéros N devient l’entier n qui ne contient plus aucun zéro.
Par exemple N = 73 019 devient n = 7319 et N = 5080317 devient n = 58317.
On s’intéresse au cas où N est un multiple premier de n, c’est-à-dire N =p.n avec p nombre premier
Q₁ Prouver qu’il existe un nombre fini de nombres premiers p pour lesquels il existe au moins un tel entier N
Q₂ Déterminer les nombres premiers p avec lesquels :
1) il existe un nombre fini d’entiers N. On précisera les plus petite et plus grande valeurs de N
2) il existe une infinité d’entiers N. On précisera la plus petite valeur de N.

Déterminer toutes les solutions de l’équation diophantienne

5a² + 10b² + 17c² + 26d² + e² − 4ab − 6bc − 8cd − 10de = 9,

dans laquelle a, b, c, d, e sont des entiers deux à deux distincts et strictement positifs.

Dans un triangle scalène ABC I est le centre du cercle inscrit. Soient A₁ ∈ BC, B₁ ∈ CA, C₁ ∈ AB les points de contact des cercles exinscrits relatifs respectivement aux sommets A, B, C avec les côtés BC, CA, AB.
Prouver que les cercles circonscrits aux triangles AIA₁, BIB₁ et CIC₁ ont un deuxième point d’intersection commun P distinct de I.

Deux points A et B sont marqués sur un plan. Zig joue au jeu suivant : à chaque tour, il choisit une paire de points déjà marqués, les relie par un segment et construit un pentagone régulier ayant ce segment pour côté, puis marque les trois autres sommets du pentagone dans le plan.
Q₁ Prouver que Zig ne peut jamais marquer le milieu du segment AB après un nombre fini de tours.
Q₂ Prouver que Zig peut tracer un pentagone régulier à l’intérieur (strictement) du premier pentagone qu’il a tracé en douze tours au plus.
Q₃ Prouver que quelle soit la distance d fixée à l’avance aussi petite que l’on voudra, Zig parvient à marquer un point à une distance du milieu de AB inférieure à d.
Nota : Zig peut marquer plusieurs fois un même point du plan.
Source : E. Voronetsky

À six heures du matin, quarante voleurs, classés par rangs de 1 à 40, veulent traverser une rivière. La barque ne peut partir que si deux personnes au moins la manœuvrent ; elle peut embarquer au plus trois personnes. Deux voleurs refusent d'être ensemble dans la barque si leurs rangs diffèrent de plus d'une unité. Ali Baba est admis comme voleur honoraire de rang 1, au même rang que le chef. Ainsi Ali Baba, le chef de rang 1 et le voleur de rang 2 peuvent traverser ensemble. Une traversée dure 5 minutes.
Q₁. Quel est le temps minimal nécessaire pour que les quarante voleurs et Ali Baba soient sur l'autre rive ?
Q₂. Si Ali Baba fait une pause à midi, combien de voleurs se trouvent alors sur l'autre rive ?

Caroline s’apprête à carreler le sol rectangulaire de sa chambre avec des carreaux en terre cuite de 10 cm de côté.

On suppose que sa chambre contient exactement 1755 carreaux. Elle établit un plan de pose à l’échelle 1/20 sur une feuille A4, avec le plus grand côté du rectangle porté par l’axe des abscisses. Elle part du coin inférieur gauche et pose les carreaux l’un après l’autre selon une spirale dans le sens trigonométrique. Si le dernier carreau est dans la colonne i et dans la rangée j, elle grave le nombre    N₁ = 100j + i.

Carolin, de son côté, s’attaque avec les mêmes carreaux au carrelage d’un vaste hall rectangulaire de longueur strictement inférieure à 15 m, plus grand que la chambre de Caroline. Il établit son plan à la même échelle 1/20 sur une feuille A1 et part aussi du coin inférieur gauche, mais selon une spirale dans le sens horaire. Son dernier carreau donne le nombre N₂
Q₁. Déterminer N₁.
Q₂. Sachant que N₂ = N₁, déterminer le nombre de carreaux posés par Carolin.

On considère la suite infinie d’entiers positifs de terme général u(n) définie par u(1) = 1, u(n) = u(n-1) + u(⌊n/2⌋) où ⌊x⌋ désigne la partie entière par défaut de x.
Cette suite contient-elle une infinité de multiples de 5 ? [**], de 7 ?[***], de 11 ?[****], de 13 ?[****]

On travaille dans le plan affine ordinaire : les droites parallèles sont autorisées, mais leurs points d’intersection à l’infini ne sont pas comptés et aucun point ni aucune droite à l’infini n’est ajouté ou compté.

Q₁. Montrer que, pour tout entier n > 0, il existe au moins un entier k > 1 tel que k droites distinctes du plan ont exactement n points d’intersection distincts. [*]

Q₂. On trace 10 droites distinctes dans le plan. Déterminer toutes les valeurs possibles du nombre de points d’intersection distincts. [***]

Q₃. Déterminer respectivement le plus petit nombre k₁ et le plus grand nombre k₂ de droites distinctes qui ont exactement 2026 points d’intersection distincts. [**]

Q₄. Prouver qu’on sait trouver 100 droites distinctes qui ont 2026 points d’intersection distincts. [***]

Q₅ Pour les plus courageux : déterminer les entiers k, k₁ < k < k_2, tels qu’il est impossible d’obtenir 2026 points d’intersection avec k droites distinctes. [*****]

PGCD désignant le Plus Grand Commun Diviseur, on considère les entiers strictement positifs a, b, c tels que                  
                                   PGCD(a,b) + PGCD(a,c) + PGCD(b,c) = b + c + 2026
Q₁ Montrer que, dans toute solution, PGCD(b,c) est indépendant du triplet (a,b,c) et calculer sa valeur.
Q₂ Exprimer a en fonction de b et c.
Q₃ Déterminer tous les triplets solutions (a,b,c) tels que 0 < a,b,c ≤ 10000.

Zig appelle admissible une suite de n entiers strictement positifs, deux à deux distincts, telle que, lorsqu’on en retire un terme quelconque, la somme des termes restants est toujours un carré parfait. Par exemple, pour n = 3, la  suite (5,20,44) est admissible, car 5 + 20 = 25, 5 + 44 = 49 et 20 + 44 = 64
Aidez Zig à déterminer le plus grand entier n pour lequel il existe une suite admissible de n entiers tous strictement inférieurs à 2026, puis donnez un exemple d’une telle suite.

On cherche une suite strictement croissante d’entiers positifs distincts (a_₁, a_₂, …, a_k ) telle que leur produit est égal à la somme de leurs carrés :  a₁a₂….a_k = a₁² + a₂² + …. + a_k²
Déterminer les valeurs de k de l’intervalle [2,6] pour lesquelles de telles suites existent et pour chaque valeur convenable de k donner une suite dont le plus grand terme est minimal.

Q₁ On considère le plan muni d’un repère orthonormé Oxy.
On trace à l’encre rouge le segment AB qui a pour extrémités le point A (8,0) de l’axe Ox et le point B(0,8) de l’axe Oy puis les sept demi-droites Δ_i i = 1,2…7 issues de l’origine O et passant par les points intérieurs au segment AB de coordonnées entières. 
On obtient un maillage du premier quadrant en traçant les points d'abscisses entières de l'axe Ox, les points d'ordonnées entières de l'axe Oy ainsi que les points d’intersection des demi-droites Δ_i avec les droites parallèles à AB  D_j  (j=1,2,3,…). passant par les points d’abscisses entières  j de l’axe des abscisses.
Sur ce maillage on trace  un polygone de 28 côtés, appelé « le damier vert », représenté ci-après. : 

Calculer l’aire de ce damier vert.

Q₂ On reproduit un second maillage du même type  à partir d’un segment PQ ayant pour extrémités le point P (10,0) et le point Q (0,10) et de neuf demi-droites passant par les points de coordonnées entières du segment PQ. Trouver un quadrilatère d’aire 2026 dont les sommets sont des points du maillage et les côtés s’appuient sur des demi-droites de type Δi et  des droites de type D_j.
Nota ; il y a plusieurs solutions, on en retiendra une seule, de préférence celle qui donne un quadrilatère dont la distance à l’origine du sommet le plus proche de cette origine est la plus petite possible.

Soit k un entier parmi 2, 3, 4, 5 et 6. On écrit sur une même ligne les entiers 1, 2, 3, ..., 10k + 1.
Il y a donc 10k emplacements entre deux entiers consécutifs. À tour de rôle, les deux joueurs choisissent un emplacement encore libre et y inscrivent le signe + ou le signe −. 
À la fin, on obtient une expression de la forme N = 1 ± 2 ± 3 ± ... ± (10k + 1), où le signe de 1 est fixé et vaut +. Comme 10k est pair, chaque joueur inscrit exactement 5k signes.
Premier tournoi : Zig joue le premier. Si N est divisible par 3, Zig gagne ; sinon Puce gagne.
Deuxième tournoi : Puce joue le premier. Si N est divisible par 5, Puce gagne ; sinon Zig gagne.
Dans chacun des deux tournois, selon les valeurs de k, qui gagne la partie.

Soient deux cercles concentriques de centre O : (C₁) de rayon 1 et (C_r) de rayon r, avec 0 < r < 1.
On note P le point de (C₁) de coordonnées (1, 0). On choisit uniformément au hasard un point M sur le segment OP. On trace le cercle (Γ) de centre O et de rayon OM, puis une tangente (Δ) issue de P à (Γ). Si (Δ) coupe (C_r), elle y découpe une corde de longueur L ; si (Δ) ne coupe pas (C_r), on pose L = 0.
Déterminer l’espérance E(L) et l’écart-type σ(L). Puis calculer σ(L) lorsque E(L) = 1.