Zig parvient à repérer une progression arithmétique (PA) de 26 termes  classés par ordre décroissant dans une sous suite S  de k termes consécutifs extraits de la suite harmonique 1/1,1/2,1/3,…,1/n, …..tels que le 1^er terme de PA est le1^er terme de S et le 26^ième terme de PA est le dernier terme de S et prend la plus grande valeur possible. 
Q₁ Déterminer l’entier k, les 1^er et 26^ième termes et la raison de PA.
Q₂ Puce remarque qu’il sait extraire de S une progression géométrique (PG) qui a un nombre N de termes. Déterminer la plus grande valeur possible de N et donner les premier et dernier termes correspondants de PG.

Q₁ Prouver qu’il existe un entier positif N tel que l’intervalle strictement compris entre deux cubes consécutifs N³ et (N+1)³ contienne exactement 1000 carrés parfaits.[**]
Q₂ Déterminer les plus petite et plus grande valeurs de l’entier N telles que l’intervalle strictement compris entre deux cubes consécutifs N³ et (N+1)³ contienne exactement 1000 carrés parfaits.[***]

On cherche des triplets d'entiers relatifs (a,b,c) tels que la somme du produit de deux d'entre eux et du troisième est toujours un carré parfait. Par exemple (−2,−11,−6) est carrément triplet avec (−2).(−11) – 6 = 16 = 4² ; (−2).(− 6) −11 = 1= 1²  et (−6).(−11) – 2 = 64 = 8²

Nota :Dans Q₂ et Q₃ justifiez vos réponses en cas d’absence de solution. Chaque solution sera illustrée par un exemple d’un triplet (a,b,c).

Soient un triangle ABC, M le milieu de BC et (Γ) son cercle circonscrit. On trace un point P sur le segment BM  distinct de B et de M puis la droite [AP] qui coupe (Γ) en un deuxième point D. La tangente en P au cercle circonscrit au triangle DMP coupe les droites [AB] et [AC] respectivement aux points Q et R 
Q₁ Prouver que AP est la médiane du triangle AQR issue de A.
Q₂ On trace un point N sur BC et la tangente en P au cercle circonscrit au triangle DNP coupe les droites [AB] et [AC] aux points S et T tels que SP/PT = 31. Déterminer la position exacte de N sur BC.

1er assaut
Zig et Puce prennent à tour de rôle des billes dans un sac qui en contient 2026. Zig commence la partie et prend k billes avec 1 < k < 2026. À chaque tour, chaque joueur doit prendre au moins une bille mais pas plus que le nombre de billes retenu par son adversaire au tour précédent. Le vainqueur est celui qui ramasse la dernière bille.
Qui a une stratégie gagnante ?
2ème assaut
On affiche au départ l’entier n = 2. À tour de rôle, Zig (qui joue le premier) puis Puce ajoutent au nombre affiché un diviseur de ce nombre qui lui est strictement inférieur (donc un diviseur propre).Autrement dit, si le nombre affiché est m, le joueur choisit un entier d tel que : d divise m et 1 ≤ d < m,puis remplace m par m + d.
Le premier joueur qui fait dépasser le seuil 2026 perd immédiatement.
Qui a une stratégie gagnante ?

Des boîtes numérotées 1, 2, 3, … sont disposées de gauche à droite. On y place successivement les entiers de 1 à 2026. Chaque entier est placé dans la boîte la plus à gauche possible, avec la contrainte que, dans chaque boîte, tous les nombres pris deux à deux sont premiers entre eux.
Q₁ Déterminer er dénombrer les entiers contenus respectivement dans les boites n°1 à n°7
Q2 Déterminer respectivement les numéros des boites où se trouvent les entiers 16, 95, 161 et  2026.
Nota : La table des nombres premiers est disponible sur l’OEIS : https://oeis.org/A000040