Pour tout nombre premier p, on note ν(p) le nombre d’entiers strictement positifs a tels que p + a et p² + a sont deux carrés parfaits.
Mon premier est un nombre premier p tel  que v(p) = 8
Mon deuxième  est un nombre premier q tel  que v(q) = 6
Mon troisième est un nombre premier r tel que v(r ) = 4
Mon quatrième est un nombre premier s tel que v(s) = 3
Mon cinquième est un nombre premier t tel que v(t) = 2
Mon tout est un entier N < 66666666 qui est le produit pqrst
Déterminer N

Pour tout entier n positif on considère la suite S(n) des entiers = {⌊n/1⌋, ⌊n/2⌋, ⌊n/3⌋, ….., ⌊n/n⌋} où ⌊x⌋ désigne la partie entière par défaut de x. On désigne par d(n) le nombre d’éléments distincts de S(n).
Résoudre en n le système d’équations : n = 23d(n) – 21  et d(n) =  d(n-2) + 1 et en déduire d(1000n)

Albertine,Brunehilde,Chimène,Domitile,Eléonore,Félicité,Gertrude sont férues de calcul mental. Leurs âges connues de toutes s'expriment en des nombres entiers d'années. 
Chacune calcule le produit de son âge par la somme des six autres âges. 
Selon l'ordre alphabétique de leur prénom, elles obtiennent 2450, 7874, 5024, 1098, 6480, 3528, 1620. 
Déterminer leurs âges.

On trace successivement :
1) quatre points distincts A, B, C, D dans cet ordre sur une droite (Δ) ;
2) la perpendiculaire en C à (Δ), qui rencontre en E le demi-cercle de diamètre AD ;
3) l’orthocentre H du triangle BDE et le centre O du cercle circonscrit au triangle BDE.
Démontrer que la droite [OH] est parallèle à (Δ) si et seulement si la longueur AB est un multiple entier k > 1 de la longueur BC ; déterminer cet entier k.

Sept enfants sont assis en cercle. Chacun d’eux a reçu soit le rôle de « Véridique » qui dit toujours la vérité, soit le rôle de « Menteur » qui ment systématiquement. Tout le monde connaît le rôle de chacun, sauf Pierrot la lune qui ignore son propre rôle ainsi que celui des autres.
Diophante demande à chaque enfant, l'un après l'autre : « Le camarade assis à ta gauche est-il un Véridique ? ». Pierrot la lune est le dernier à répondre. Avant son tour, il a entendu exactement trois réponses « Oui » et trois réponses « Non ». Bien qu’il ne connaisse pas les rôles des uns et des autres, il réalise qu’il peut répondre correctement sans connaître son propre rôle. Quelle est sa réponse ?

Puce est devant une table où se trouvent 2026 enveloppes indiscernables dont 13 exactement contiennent chacune un billet de 100 €, les 2013 autres étant vides. 
Enn un tour, il peut choisir un nombre quelconque d’enveloppes et les répartir en au plus 13 piles. Zig lui indique alors le nombre de billets de 100€ dans chacune de ces piles. 
Quel que soit le placement des billets dans les 13 enveloppes effectué par Zig :
Q₁ Déterminer le nombre minimum de tours qui assurent à  Puce d’obtenir 13 piles qui contiennent chacune une seule enveloppe où se trouve le billet de 100 €
Q₂  Déterminer le nombre minimum de tours qui assurent à  Puce d’identifier les 13 enveloppes porteuses du billet de 100 €.