Q₁ Soit un entier n impair non divisible par 5. D2montrer qu’il existe au moins un multiple de cet entier qui ne contient que de 5.
Q₂ On considère un ensemble E de n entiers dont aucun n’est divisible par n. Montrer qu’on sait trouver un sous-ensemble de E dont la somme des éléments est divisible par n.
Q₃ Parmi 52 entiers positifs, prouver qu’on sait en choisir deux dont la somme ou la différence sont divisibles par 100. Qu’en est-il avec 51 entiers positifs ?
Q₄ Partager l’ensemble des entiers de 1 à 13 en trois sous-ensembles disjoints tels que la somme de deux éléments de l’un quelconque de ces sous-ensembles ne donne jamais un élément de ce sous-ensemble. Prouver que c’est impossible avec 14 entiers.
Nota : les quatre questions sont indépendantes mais se résolvent selon le même principe….

Q₁ Prouver qu’on sait trouver au moins trois couples d’entiers strictement positifs (a,b) qui vérifient la relation  (R)
PPCM(a,b) = PPCM(a + 2025,b + 2026) avec PPCM = Plus Petit Commun Multiple.[***]

Q₂ Le 1er mars l’assistant conversationnel Gemini 3.0 affirme qu’il existe une infinité de couples (a,b) qui vérifie cette relation (R) tandis que ChatGPT (version 5.4) affirme le contraire avec un nombre fini de couples.Le 1er avril l'un deux change d'avis et reconnaît son erreur. Lequel? [****]

   

20^ième épisode[***]
Sur la droite qui porte le côté AC d’un triangle acutangle ABC, on trace le point D tel que A est milieu du segment CD. On trace deux points E et F sur le cercle circonscrit au triangle DBC tels que AE = AF = BC.
Démontrer que la droite [EF] passe par le centre du cercle circonscrit au triangle ABC si et seulement l’angle 
 <BAC est égal à 60°.

21^ième épisode [**]
Dans un triangle acutangle ABC, on désigne par D et E les pieds des bissectrices issues de A et de B sur les côtés BC et AC Sachant que AB + BD = AE + EB, démontrer que l'angle <ABC est égal à 80° si et seulement si l'angle
 < BACest égal à 60°.

22^ième épisode [**]
Dans un triangle ABC, l'angle  ACB égal à 75°. On construit le parallélogramme ABDC avec BD parallèle à AC et CD parallèle à AB. Soient M et N les milieux des côtés BD et CD.
Démontrer que les quatre points B,C,M et N sont cocycliques si et seulement si l'angle  <BAC est égal à 60°.

Nota: les trois épisodes sont indépendants.

Diophante choisit une suite S composée de six entiers impairs positifs consécutifs. Il calcule ensuite les quinze produits obtenus en multipliant deux à deux des termes distincts de la suite. Parmi ces quinze produits, il en choisit trois et les place dans trois enveloppes qu’il remet respectivement à Alice, Bernard et Caroline.Il leur demande alors s’ils sont capables de retrouver les six termes de la suite S.
Après quelques secondes, Alice affirme qu’elle connaît la suite S et que la somme de ses termes est supérieure à 1000.
Bernard déclare ensuite que les informations dont il dispose sont insuffisantes pour déterminer la suite.
Un peu plus tard, Caroline révèle que son produit est supérieur à celui de Bernard et que la différence entre les deux produits est égale à 2026.
Une minute après cette révélation, Bernard annonce qu’il peut désormais déterminer la suite S.
Déterminer les six termes de la suite S et les trois produits choisis par Diophante.

On s’intéresse à une collection de 23 nombres entiers strictement positifs tous différents tels que :
- 2 d’entre eux exactement sont divisibles par 2,
- 3 d’entre eux exactement sont divisibles par 3 ,
- 5 d’entre eux exactement sont divisibles par 5,
- 7 d’entre eux exactement sont divisibles par 7,
- 11 d’entre eux exactement sont divisibles par 11,
- 13 d’entre eux exactement sont divisibles par 13,
- 17 d’entre eux exactement sont divisibles par 17,
- 19 d’entre eux exactement sont divisibles par 19,
- ils sont tous divisibles par 23
Soit N le plus grand d’entre eux. Déterminer la plus petite valeur possible de N.

Le colloque « Mathématiques : les défis de demain » est organisé en avril 2026 à Alexandrie, patrie de Diophante.
L’énigme des conférenciers [**]
Lors de cette rencontre, chaque conférencier connaît déjà, avant de se rendre, dix autres conférenciers et découvre tous les autres.
Dans toute paire de conférenciers qui se connaissent déjà, l’un et l’autre identifient quatre connaissances communes tandis que dans toute paire de conférenciers qui se voient pour la première fois, l’un et l’autre ne repèrent que deux anciennes relations communes.
Combien y a-t-il de conférenciers ?

L’énigme des participants [***]
Chaque participant est caractérisé par trois critères : son pays, sa discipline et sa classe d’âge.
On adopte l’interprétation suivante : deux participants se connaissent si et seulement s’ils ont au moins un de ces trois critères en commun.
Les données sont les suivantes :
- chaque participant connaît exactement 89 autres participants ;
- deux participants venant du même pays et pratiquant la même discipline ont 68 autres connaissances communes ;
- deux participants venant du même pays et appartenant à la même classe d’âge ont 64 autres connaissances communes.
Deux questions :
Q Combien de connaissances communes ont deux participants pratiquant la même discipline et appartenant à la même classe d’âge ?
Q Combien de connaissances communes ont deux participants qui diffèrent à la fois par le pays, la discipline et la classe d’âge ?.
Nota :les deux énigmes sont indépendantes