Avec son logiciel préféré Puce calcule le produit des entiers de 1001 à 2025 et obtient un entier n à 3251 chiffres (voir ci-contre). 
Q₁ Zig choisit un nombre premier p et constate que n/p⁸⁶ est une fraction rationnelle irréductible de la forme a/p avec a entier. Déterminer p.
Q₂ Zig choisit le nombre premier q = 5 et divise n par q, puis par q², puis par q³…. jusqu’à obtenir avec q^α une fraction irréductible de la forme b/q avec b entier. Déterminer l’entier α.

Un entier naturel n de k > 1 chiffres tous non nuls et dont au moins deux d’entre eux sont distincts est appelé auto-permutant s’il est égal à la moyenne arithmétique des k! entiers formés en permutant ses chiffres. 
Prouver que le nombre de chiffres k d’un entier auto-permutant est toujours un multiple de 3 et que pour chaque k fixé à l’avance, il y a exactement quatre entiers auto-permutants.

Q₁ Prouver qu’on sait extraire 100 entiers distincts de l’ensemble des entiers naturels de 1 à 300 de sorte que la différence de deux quelconques d’entre eux n’est jamais égale à 10 ou à 11 ou à 21.[**]
Q₂ Prouver qu’il est impossible d’en extraire 101 ayant la même propriété.[***]

On trace dans le sens horaire  les sommets  d’un hexagone régulier A₁A₂A₃A₄A₅A₆ de côté unité. Soit un point courant P du périmètre de l’hexagone sur le côté A_iA_i+1 (i+1 calculé modulo 6) 
On trace dans le sens horaire le point Q sur le côté adjacent A_i+1A_i+2 (i+1 et i+2 calculés modulo 6) tel que 
PQ = 1 puis les points R et S, R intérieur à l’hexagone et S à l’extérieur, tels que PQR et PQS sont deux triangles équilatéraux.
Déterminer les lieux des points R et S quand le point P parcourt tout le périmètre de l’hexagone.

Pour tout entier k ≥ 2, Zig s’intéresse aux suites S strictement croissantes de k entiers positifs, chacun d’eux, excepté le premier, étant un multiple de celui qui le précède et les sommes respectives de leurs chiffres formant une suite S’ strictement décroissante.
Par exemple pour k = 3, les trois entiers {26,52,104} pris dans cet ordre forment une suite S avec S’ ={8,7,5}
Q₁ Trouver deux suites S et S’ de 15 termes chacune telles que le premier terme de S a au plus 13 chiffres.[****]
Q₂ Existe-t-il deux suites S et S’ d’un million de termes chacune telles que les termes de S ne sont jamais divisibles par 10 ?[*****]

Tout point du plan, à coordonnées entières est étiqueté avec un entier choisi parmi l’ensemble des 2025 entiers naturels {1,2,3,….,2025}.Prouver qu’il existe un rectangle dont les sommets ont la même étiquette.