On fixe un entier k strictement positif ≥ 1 et on recherche tous les entiers p,q et r vérifiant k < p < q < r tels que (p – k)(q – k)(r – k) divise pqr – k³.
Q₁ Prouver que pour tout entier k il y a un nombre fini de triplets distincts (p,q,r) qui satisfont les conditions de l’énoncé et qu’on sait toujours en trouver  au moins deux.
Q₂ Déterminer toutes les solutions pour k = 1 (cf problème n°1 des 32ièmes IMO 1992 à Moscou)
Q₃ Déterminer toutes les solutions pour k = 2.

Existe-t-il un nombre réel x tel que pour tout entier n strictement positif : ?

Nota :    désigne la partie entière par défaut du réel a.

Prouver qu’on sait trouver un nombre triangulaire qui se termine par 2025 chiffres 1.
Nota : un nombre triangulaire est de la forme k(k + 1)/2 avec k entier quelconque ≥ 0.

Pour tout entier k ≥ 1, on s’intéresse aux suites S de k entiers strictement positifs xi, i = 1,2,…,k, classés dans l’ordre non décroissant x₁ ≤ x₂ ≤ x₃ ≤  ,…≤.x_i,≤ …≤.x_k-1,≤ x_k tels que la somme des k entiers est égale au produit de ces mêmes entiers.

On désigne par N(k) le nombre de telles suites.
Q₁ Pour un entier k quelconque fixé à l’avance, démontrer qu’il existe toujours au moins une suite S et que N(k) est borné. [**]
Q₂ Déterminer les suites S et N(k) pour k prenant respectivement les valeurs 2,3,4,5,6,20,25.[**]
Q₃ Pour les plus courageux disposant d’un automate, déterminer les suites S et N(k) pour k = 2025.[***]
Q₄ Prouver que pour tout entier n > 1 on sait toujours trouver des suites S de k entiers telles que N(k) ≥ n.[****]
Application  numérique n = 2025.

Soient un triangle ABC.et son cercle inscrit (γ) de centre I qui touche les côtés BC,CA et AB respectivement en D,E et F. Soit K le pied de la hauteur issue de D dans le triangle DEF.Les cercles circonscrits au triangle ABI  et au triangle ACI rencontrent respectivement le cercle (γ) aux points C₁ et C₂ d’une part, B₁ et B₂ d’autre part.
Démontrer que l’axe radical des cercles circonscrits aux triangles BB₁B₂ et CC₁C₂ partage DK en son milieu M.

                                                          
Dans l’hexagone régulier ABCDEF, on trace le point R à l’intersection des diagonales CE et DF puis les points P sur le côté AF et Q sur la droite portant le côté BC tels que l’angle PRQ est égal à 60°. RP et RQ coupent la droite portant la diagonale CF en S et T.
Quand P parcourt le côté AF de l’hexagone : 
Q₁ Prouver que le rapport de l’aire du triangle RST à l’aire du quadrilatère PQST reste constant,
Q₂ Déterminer le lieu du pied de la hauteur issue de R dans le triangle PRQ.

Zig et Puce qui sont l’un et l’autre de fins logiciens jouent au jeu suivant. Chacun choisit un entier strictement positif qu’il confie à Diophante. 
Celui-ci écrit au tableau noir deux entiers dont l’un est la somme des deux entiers choisis par Zig et Puce et l’autre un entier de son choix.
Diophante s’adresse alors à Zig : « Quel est l’entier choisi par Puce ? » 
Zig: « Je ne le connais pas ».
Diophante se tourne vers Puce « Quel est l’entier choisi par Zig ? »
Puce: « Je ne le connais pas ».
Puis Diophante réitère sa demande à Zig puis à Puce etc…jusqu’au moment où l’un des deux amis affirme qu’il connaît l’entier choisi par l’autre.
Prouver que c’est bien toujours le cas quels que soient les entiers choisis initialement par Zig et Puce après un nombre fini de requêtes de la part de Diophante. 
Application numérique :
Zig a choisi l’entier 2025 et Puce l’entier 1001. Diophante écrit au tableau les entiers 3026 et 3500 puis interroge Zig en premier. Qui de Zig ou de Puce sera le premier à trouver l’entier choisi par l’autre.

Il s’agit d’un système breveté par Sam Loyd qui est installé dans les immeubles dotés d’ascenseurs et n’ayant pas d’escalier de secours. Une corde munie de deux grands paniers à chaque extrémité passe sur une poulie libre accrochée à chaque étage  de sorte que lorsqu'un panier descend, l'autre remonte. L'ingéniosité du système consiste à placer à chaque manœuvre un ou plusieurs objets dans un panier pour faire contrepoids à un ou plusieurs objets globalement plus lourds ou plus légers dans l'autre. On suppose que 3 kilogrammes constituent la limite de la différence des poids qui permet aux objets descendants d’atterrir sans dommage.
Un incendie s'est déclaré une nuit dans un hôtel et tous les occupants ont pu s'échapper sains et saufs par les ascenseurs à l'exception du veilleur de nuit, de son épouse, de leurs trois enfants et du chien. N’ayant été réveillés qu’au moment où tous les ascenseurs ont été bloqués, ils ont fait appel à l'issue de secours de Sam Loyd et en 63 manœuvres exactement la famille au complet y compris le chien a pu être sauvée des flammes sans le moindre dommage.
Comme l’illustre l’image ci-dessus, Madame est plus imposante que Monsieur.
Déterminer le poids maximal de Madame compatible avec toutes ces données et décrire les 63 manœuvres qui ont permis à la famille d’être sauvée.
Nota : on suppose que chaque panier peut recevoir six personnes au maximum et qu’à l’exception du petit dernier qui est un tout jeune bébé chaque membre de la famille ainsi que le chien sont autonomes pour entrer dans un panier ou en sortir.
Source : The fire escape puzzle de Sam Loyd

Zig trace les sommets d’un polygone régulier sur un cercle de rayon 5 cm et de centre O et choisit au hasard trois d’entre eux P,Q,R pour former le triangle PQR .La probabilité qu’il obtienne un triangle rectangle est égale à la probabilité qu’il obtienne un triangle acutangle *.
Q₁ Donner le nom du polygone tracé par Zig.
Q₂ Déterminer la probabilité qu’il obtienne un triangle obtusangle.*
Q₃ Pour les plus courageux : déterminer l’espérance mathématique du carré de la distance de O à l’orthocentre du triangle PQR.
*Nota : dans un triangle acutangle, les trois angles sont aigus, c’est-à-dire < 90° et dans un triangle obtusangle, un angle est obtus c’est-à-dire > 90°.

Diophante choisit un entier naturel  n et demande à Alice, Bernard et Caroline de recenser les triangles (non dégénérés) à côtés entiers dont les périmètres sont respectivement égaux à n, n + 1 et n + 2.
Bernard obtient 17 triangles de plus qu’Alice et 9 triangles de plus que Caroline. Déterminer n

L’inverse de l'entier n est la somme des inverses de 72 nombres triangulaires consécutifs.
Q₁ Déterminer la plus petite valeur possible de n.
Q₂ Déterminer le nombre de valeurs de n ≤ 2025
Nota :  les nombres triangulaires (https://oeis.org/A000217) sont de la forme k(k + 1)/2 pour tout k entier ≥ 0

On désigne par p le produit des chiffres de l’entier n.
Q₁ Déterminer tous les entiers positifs tels que n² − 339n + 2025  = p
Q₂ Déterminer tous les couples d’entiers (a,n) tels que n² – an + 2025  = p > 0  avec 0 < n ≤ 2025 et 0 < a ≤ 2025.
Q₃ Pour les plus courageux disposant d’un automate :
 1) déterminer les couples d’entiers positifs (a,b) tel que pour chacun d’eux on sait trouver trois entiers n₁,n₂ et n₃ distincts > 0  de deux chiffres au plus et les entiers p₁ , p₂ et p₃  > 0 qui vérifient l'équation n_i² – an_i + b = p_i  pour i = 1,2,3
 2) déterminer un couple d’entiers positifs (a,b) tel qu’on sait trouver quatre entiers n1, n2, n3 et n4 distincts > 0  et les entiers p₁, p₂, p₃ et p₄  > 0 qui vérifient l’équation n_i² – an_i + b = p_i  pour i = 1,2,3,4

Source : d’après olympiades internationales de mathématiques 1968

Zig choisit un entier n > 0 et établit toutes les partitions P_i (i = 1,2,….k) de cet entier sous la forme de suites d’entiers strictement positifs écrits dans un ordre non décroissant dont la somme est égale à n.
Pour chaque partition P_i, Zig mentionne le nombre u_i de chiffres 1 et le nombre d_i d’entiers distincts
Par exemple avec n = 4, on a les k = 5 partitions suivantes:  
 P₁ ={1,1,1,1} avec u₁ = 4 et d₁ = 1
 P₂ ={1,1,2} avec u₂ =2 et d₂ = 2
 P₃ = {1,3} avec u₃ =1 et d₃ = 2
 P₄ = {2,2} avec u₄ = 0 et d₄ = 1
 P₅ = {4} avec u₅ =0 et d₅ = 1

On désigne par :
su_n le nombre total de chiffres 1 écrits dans toutes les partitions de n :

sd_n le nombre total des entiers distincts écrits dans toutes les partitions de n :

Q₁ Prouver que, quel que soit n, su_n = sd_n

Lorsque Zig a terminé, une seule partition P’ avec quatre entiers distincts a été écrite et su_n < 100
Q₂ Déterminer n, le nombre correspondant k de partitions et sd_n. En déduire sd_n+1.

Soit un triangle acutangle ABC dans lequel BC < AB et BC < CA. On trace le point P distinct de B sur le segment AB et le point Q distinct de C sur le segment AC de sorte que BQ = BC = CP.
Soient T le centre du cercle circonscrit au triangle APQ, H l’orthocentre du triangle ABC et S le point d’intersection des droites [BQ] et [CP]. Prouver que les points T,H et S sont alignés.

S₁ Les points du plan sont coloriés en vert et jaune. Prouver que l’une des deux couleurs contient des points placés à n’importe quelle distance les uns des autres.

S₂ Les entiers naturels sont coloriés en rouge et bleu. La somme de deux entiers de couleurs différentes est bleue et leur produit est rouge.
 Q₁ Déterminer la couleur d’un entier qui est le produit de deux entiers rouges.
 Q₂ Il y a 119 nombres entiers rouges strictement inférieurs à 2025 que l’on classe par ordre croissant.    
 Déterminer le 19^ième de la liste.

S₃ On trace dans le plan xOy un losange équilatéral OABC avec A sur l’axe des abscisses et  AOC = 60°.    
 Q₁ Montrer qu’il existe une rotation d’angle α  autour de O telle que OABC devient OA’B’C’ avec BB’ =  BC.
 Q₂ En déduire que si les points du plan sont coloriés en rouge, bleu et jaune alors il y a nécessairement deux points du plan séparés de la distance 2025 qui sont de même couleur.

S₄ L’unique salle d’exposition de ce musée d’art contemporain a la forme originale d’un polygone à 14 côtés.                                          
                
                                                                                                         
 Q₁ En coloriant de manière appropriée les sommets de ce polygone, déterminer le nombre minimum de gardiens  qui permet d’en assurer la surveillance.
 Q₂ Pour les plus courageux : quel est le nombre minimum de gardiens avec un n-gone simple qui n’est pas croisé et ne contient pas de trous ?

Après être descendues de leurs luminaires, Formica la fourmi et Arachné l’araignée décident une course revanche dans un coin du jardin que Diophante a aménagé à la manière d’un échiquier avec des carrés de pelouse et de gravier fin de cinq mètres de côté.
                                    
                                                             
Comme indiqué dans la figure ci-dessus, Arachné et Formica prennent pour point de départ un coin de pelouse et fixent le point d’arrivée à l’autre extrémité de la diagonale commune à trois carrés de pelouse.
Arachné se déplace à raison de 144 centimètres par minute sur la pelouse et de 200 centimètres par minute sur le gravier fin tandis que Formica se déplace à raison de 125 centimètres par minute sur la pelouse et de 250 centimètres par minute sur le gravier fin. Elles partent au même moment et pour ne pas se gêner Arachné prend la direction Nord et Formica la direction Est.
Qui gagne cette seconde manche ?
Nota : on admet qu’Arachné et Formica savent fort bien calculer leur trajets optimaux sans avoir besoin de consulter ChatGPT qui aurait de fortes chances de les induire en erreur.

Les termes x₁, x₂,….x_n,..de cette suite S sont des entiers > 0 qui obéissent à la formule de récurrence : x_n+3 = x_n+2(x_n+1 + x_n) pour tout n ≥ 1.
Sachant que x₁₀ = 11 598 039 613 440, calculer x₅ et le nombre de chiffres de x₂₀.