Pb n° 1 Prouver que l’entier  2ⁿ + 47 est un nombre premier pour une seule valeur de n < 100.[**]

Pb n°2 Déterminer tous les nombres premiers p tels que 3^p + 4^p + 5^p + 9^p – 98 possède au plus 6 diviseurs positifs.[***]

Nota : les deux problèmes sont indépendants

Pour aller de D (Départ) en A (Arrivée), on a le choix entre deux routes DXA et DYA qui passent respectivement par les localités X et Y.

                                                           
On suppose que le 1er mars au matin, au départ de D, N₁ voitures empruntent la route DXA et N₂ voitures la route DYA avec           N = N₁ + N₂ = 8000 voitures.
Sur les tronçons DY et XA les temps de conduite sont constants et respectivement égaux à 50 minutes et 40 minutes. 
Sur le tronçon DX les voitures roulent avec un débit de 200 voitures à la minute et sur le tronçon YA elles roulent avec un débit de 100 voitures à la minute. 
On admet que les flux du trafic sont à l’équilibre avec des temps de conduite identiques sur les deux routes DXA et DYA. On désigne par T le temps de conduite entre D et A.

Q₁ Déterminer T  et les nombres de voitures N₁ et N₂.

Q₂ Afin de délester le tronçon XA qui est très urbanisé, on construit une bretelle à sens unique entre X et Y caractérisée par un débit de 100 voitures à la minute. Il y a désormais trois trajets possibles DXA,DXYA,DYA.
   
                                            

Toujours avec l’hypothèse N = 8000 voitures au départ de D, déterminer T et les nombres de voitures qui ont pris chacun des cinq tronçons.

Q₃ On réalise des travaux pendant un mois sur la bretelle XY qui entrainent un ralentissement du débit ainsi ramené de 100 voitures à 50 voitures à la minute. Déterminer T

Q₄ Expliquer les résultats paradoxaux obtenus dans Q₂ et Q₃.

Pour les plus curieux : de tels résultats ont-ils été réellement observés au cours des années passées dans les réseaux routiers et autoroutiers des grandes agglomérations du monde entier ?

 Dans un triangle ABC, D et H sont les pieds sur le côté BC de la bissectrice et de la hauteur issues de A.
 Sur les côtés AB et AC on désigne respectivement par I,K,M,P et par J,L,N,Q :
 - les projections issues de D,
 - les points d’intersection des bissectrices intérieures des angles droits AHB et AHC,
 - les projections issues de H,
 - les points d’intersections des parallèles aux côtés AC et AB issues de H.
Les droites IJ et KL  se coupent en X₁, les droites MN et PQ se coupent en X₂.
On désigne par Y₁ et Y₂ , Z₁ et Z₂ les points équivalents à X₁ et X₂ obtenus avec les hauteurs et bissectrices issues de B et de C.
Prouver les cinq alignements suivants : B,X₁,X₂ -  C,Y₁,Y₂ -  A,Z₁,Z₂ - X₁,Y₁,Z₁  et X₂,Y₂,Z₂.

Zig détient 60 cartes dont les rectos sont numérotés de 1 à 60 et un nombre réel a été inscrit sur chaque verso.
Puce ignore les 60 nombres réels mais peut désigner n’importe quel ensemble de 17 numéros et obtenir de Zig la somme des nombres inscrits sur les cartes correspondantes.
Q₁ Puce  peut-il déterminer avec certitude la somme des nombres inscrits sur les 60 cartes en posant au plus :
a) 30 questions ? [**]
b) 20 questions ? [***]
c) 10 questions ? [****]
Q₂ Puce  peut-il déterminer avec certitude le nombre inscrit sur la carte n°1 en moins de 10 questions.
Q₃ Questions ouvertes pour les plus courageux :
a) quel est le nombre minimum de questions qui permet de déterminer la somme totale avec certitude?
b) pour k = 1,2,…60,quel est le nombre minimum de questions qui permet de déterminer  k cartes désignées à l’avance ?

En arrivant dans le parc d’attractions « Trois-Étoiles »,Zig a dans son porte-monnaie un certain nombre de pièces d’un euro (1 €). Il porte un bracelet magique dont la couleur dépend du  nombre d’euros (modulo 3) contenus dans son porte-monnaie : rouge si le nombre est multiple de 3, bleue s’il vaut 1 modulo 3 et verte  s’il vaut 2 modulo 3.
Zig se présente à un stand où chaque partie consiste à choisir un jeu A ou un jeu B.
Dans le jeu A, Zig a en main une pièce de monnaie P_A dont la probabilité d’obtenir « Pile » est 0,495. Zig gagne +1 € si le lancer de la pièce donne « Pile » et sinon, il perd −1 €.
Dans le jeu B, on confie à Zig une pièce de monnaie P_B1 si son bracelet est de couleur rouge et une pièce de monnaie P_B2 si son bracelet a l’une des deux autres couleurs, bleue ou verte .Les probabilités d’obtenir « Pile » avec P_B1 et P_B2 sont respectivement égales à 0,095 et 0,745. A chacun de ces lancers Zig gagne + 1 € s’il obtient « Pile » et sinon, il perd −1 €.
Q₁ Montrer que les jeux A et B  pris séparément sont perdants, c’est-à-dire que les espérances mathématiques par lancer sont strictement négatives.[**]
Q₂ Zig joue « Mélange » : à chaque coup, il choisit A avec la probabilité 1/2 et B avec la probabilité 1/2. Montrer que ce mélange devient gagnant et calculer l’espérance de gain par lancer.[****]

 Recommandation : pour résoudre les deux questions le lecteur est invité à se replonger dans l’analyse des chaînes de Markov.

On s’intéresse aux entiers N tels que chaque paire de chiffres adjacents lus de gauche à droite forme un nombre premier à deux chiffres et les nombres premiers ainsi obtenus sont tous distincts.
Q₁ Déterminer le nombre maximum k de chiffres de N.
Dans la suite du problème on retient les seuls entiers N ayant ce maximum de k chiffres :
Q₂ Prouver que les entiers N se terminent tous par le même chiffre.
Q₃ Déterminer la plus grande valeur de N puis sa plus petite valeur.
Q₄ Pour les plus courageux disposant d’un automate: déterminer le nombre d’entiers N compris entre ces deux valeurs extrêmes.

Zig parvient à repérer une progression arithmétique (PA) de 26 termes  classés par ordre décroissant dans une sous suite S  de k termes consécutifs extraits de la suite harmonique 1/1,1/2,1/3,…,1/n, …..tels que le 1^er terme de PA est le1^er terme de S et le 26^ième terme de PA est le dernier terme de S et prend la plus grande valeur possible. 
Q₁ Déterminer l’entier k, les 1^er et 26^ième termes et la raison de PA.
Q₂ Puce remarque qu’il sait extraire de S une progression géométrique (PG) qui a un nombre N de termes. Déterminer la plus grande valeur possible de N et donner les premier et dernier termes correspondants de PG.

Q₁ Prouver qu’il existe un entier positif N tel que l’intervalle strictement compris entre deux cubes consécutifs N³ et (N+1)³ contienne exactement 1000 carrés parfaits.[**]
Q₂ Déterminer les plus petite et plus grande valeurs de l’entier N telles que l’intervalle strictement compris entre deux cubes consécutifs N³ et (N+1)³ contienne exactement 1000 carrés parfaits.[***]

On cherche des triplets d'entiers relatifs (a,b,c) tels que la somme du produit de deux d'entre eux et du troisième est toujours un carré parfait. Par exemple (−2,−11,−6) est carrément triplet avec (−2).(−11) – 6 = 16 = 4² ; (−2).(− 6) −11 = 1= 1²  et (−6).(−11) – 2 = 64 = 8²

Nota :Dans Q₂ et Q₃ justifiez vos réponses en cas d’absence de solution. Chaque solution sera illustrée par un exemple d’un triplet (a,b,c).

Soient un triangle ABC, M le milieu de BC et (Γ) son cercle circonscrit. On trace un point P sur le segment BM  distinct de B et de M puis la droite [AP] qui coupe (Γ) en un deuxième point D. La tangente en P au cercle circonscrit au triangle DMP coupe les droites [AB] et [AC] respectivement aux points Q et R 
Q₁ Prouver que AP est la médiane du triangle AQR issue de A.
Q₂ On trace un point N sur BC et la tangente en P au cercle circonscrit au triangle DNP coupe les droites [AB] et [AC] aux points S et T tels que SP/PT = 31. Déterminer la position exacte de N sur BC.

1er assaut
Zig et Puce prennent à tour de rôle des billes dans un sac qui en contient 2026. Zig commence la partie et prend k billes avec 1 < k < 2026. À chaque tour, chaque joueur doit prendre au moins une bille mais pas plus que le nombre de billes retenu par son adversaire au tour précédent. Le vainqueur est celui qui ramasse la dernière bille.
Qui a une stratégie gagnante ?
2ème assaut
On affiche au départ l’entier n = 2. À tour de rôle, Zig (qui joue le premier) puis Puce ajoutent au nombre affiché un diviseur de ce nombre qui lui est strictement inférieur (donc un diviseur propre).Autrement dit, si le nombre affiché est m, le joueur choisit un entier d tel que : d divise m et 1 ≤ d < m,puis remplace m par m + d.
Le premier joueur qui fait dépasser le seuil 2026 perd immédiatement.
Qui a une stratégie gagnante ?

Des boîtes numérotées 1, 2, 3, … sont disposées de gauche à droite. On y place successivement les entiers de 1 à 2026. Chaque entier est placé dans la boîte la plus à gauche possible, avec la contrainte que, dans chaque boîte, tous les nombres pris deux à deux sont premiers entre eux.
Q₁ Déterminer er dénombrer les entiers contenus respectivement dans les boites n°1 à n°7
Q2 Déterminer respectivement les numéros des boites où se trouvent les entiers 16, 95, 161 et  2026.
Nota : La table des nombres premiers est disponible sur l’OEIS : https://oeis.org/A000040