Q₁. Déterminer le plus petit nombre de fractions égyptiennes, pas nécessairement distinctes, de la forme 1/aᵢ avec l’entier aᵢ tel que   1 < aᵢ < 2026, dont la somme est égale à 2025/2026.
Q₂. Déterminer le plus petit nombre de fractions égyptiennes distinctes de la forme 1/aᵢ avec l’entier aᵢ tel que  aᵢ > 1,  dont la somme est égale à 2025/2026

Nota : justifier la minimalité dans les deux questions.

Soient  φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui et σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
Zig s’intéresse aux entiers positifs n qui vérifient les trois conditions suivantes :
1) n possède exactement k facteurs premiers distincts, avec k > 1 ;
2) n est sans facteur carré, c’est-à-dire qu’il n’est divisible par le carré d’aucun entier supérieur à 1 ;
3) σ(n) est un multiple de φ(n).
Q₁. Déterminer, pour k = 2, 3 et 4, l’ensemble E(k) de tous les entiers n satisfaisant ces conditions.
Q₂. Pour les plus courageux. Démontrer que, pour tout entier k > 1, l’ensemble E(k) est fini.

On considère cinq entiers consécutifs n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4 (n ≥ 1).
A chaque étape, on choisit deux termes a et b parmi les termes présents et on les remplace par le résultat de l’une des quatre opérations suivantes : a + b, a − b|, a × b,  a / b  avec b>0.
On poursuit jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’un seul terme, en imposant que chacune des quatre opérations soit utilisée exactement une fois.
Pour la division, l’ordre de a et b peut être choisi, sous réserve que le dénominateur soit strictement positif.
On note M(n) la plus grande valeur finale possible et m(n) la plus petite.
Q₁. Si M(n) =170, déterminer m(n).
Q₂. Si m(n) =1/19700, déterminer M(n).
Q₃  Trouver n tel que M(n) > 2026 et m(n) > 0.00048

Les points J,K,L et M sont les centres de gravité des triangles ABC, BCD, CDA et DAB construits à partir des côtés et des diagonales d’un quadrilatère convexe ABCD. De la même manière on construit le quadrilatère PQRS à partir du quadrilatère JKLM. Calculer le rapport des aires des quadrilatères ABCD et  PQRS.

Zig dispose de boîtes de macarons. À chaque tour, il choisit un nombre quelconque de boîtes non vides et retire le même nombre entier q > 0 de macarons de chacune, sans jamais retirer plus que le contenu d’une boîte choisie.
Q₁. Avec n boîtes contenant 1, 2, …, n macarons, déterminer le nombre minimal m(n) de tours nécessaire pour vider toutes les boîtes. Calculer m(13) et m(31).

Q₂. On considère les contenus de quatre séries de sept boites chacune :
      n°1 : 8, 10, 12, 15, 22, 25, 33 ;
      n° 2 : 2, 5, 19, 27, 28, 35, 40 ;
      n° 3 : 3, 17, 25, 26, 35, 56, 59 ;
      n° 4 : 4, 12, 17, 18, 20, 31, 37.
Zig choisit l'une des quatre méthodes suivantes et l'applique à chaque tour jusqu'à ce que toutes les boîtes soient vides.
Méthode 1 : manger le plus de macarons possibles. On retranche q de toutes les boîtes qui en contiennent au moins q, où q maximise le produit de q par le nombre de boîtes concernées ; en cas d'égalité, on prend le plus grand q.
Méthode 2 : exécuter un algorithme binaire. q est la plus grande puissance de 2 qui ne dépasse pas le contenu maximal ; on la retranche de toutes les boîtes qui en contiennent au moins q.
Méthode 3 : réaliser une bissection des contenus. q est la médiane supérieure des contenus distincts encore positifs (la valeur de rang ⌊k/2⌋ + 1 parmi k valeurs rangées par ordre croissant) ; on la retranche de toutes les boîtes qui en contiennent au moins q.
Méthode 4 : réduire le plus possible le nombre de contenus distincts, selon les deux règles suivantes.
a) Si les contenus positifs sont tous différents, on choisit q et un sous-ensemble de boîtes contenant chacune au moins q, de façon à rendre minimal le nombre de contenus positifs distincts après le tour ; en cas d'égalité, on maximise le nombre total de macarons mangés, puis on prend le plus grand q.
b) Si plusieurs boîtes ont le même contenu, on vide le groupe de boîtes de même contenu le plus nombreux ; en cas d'égalité, on maximise le nombre de macarons qui se trouvent dans les boîtes vidées, c'est-à-dire qu'on retient le plus grand contenu commun. Ce contenu est retranché de toutes les boîtes qui en contiennent au moins autant.
Exemple : série 7, 12, 19, 25, 29, 37, 42 ; cinq tours, avec q = 12, 25, 7, 10, 5.
Prouver que, pour chaque série, une méthode exige strictement moins de tours que chacune des trois autres.

Q₃. Construire quatre séries de sept entiers distincts, tous ≤ 16, telles que sur la série n° i la méthode n° i exige strictement moins de tours que les trois autres.

On dispose de 32 pions portant chacun un chiffre : quatre pions « 1 », quatre pions « 2 », et ainsi de suite jusqu’à quatre pions « 8 ». On dispose aussi d’un damier carré de 7 cases sur 7 (49 cases). Chaque case reçoit au plus un pion ; à la fin, 17 cases restent vides.
Deux pions sont voisins lorsqu’ils occupent deux cases ayant un côté commun (l’une à côté de l’autre ou l’une au-dessus de l’autre). Deux pions qui se touchent seulement par un coin, en diagonale, ne sont pas voisins.
On pose un premier pion sur n’importe quelle case, puis on ajoute les pions un par un, chaque nouveau pion étant posé à côté d’un pion déjà en place (à sa gauche, à sa droite, au-dessus ou au-dessous). Les pions forment ainsi toujours un seul bloc.
Les pions ne doivent former aucune boucle : il ne doit pas exister de chemin qui, en passant de pion en pion voisin sans repasser par le même pion, revient à son point de départ. En particulier, quatre pions ne peuvent jamais occuper un carré de 2 × 2 cases, et un groupe de pions ne peut pas entourer complètement une ou plusieurs cases vides.* 

                                                                          
Sur une même rangée (horizontale) ou une même colonne (verticale), des pions posés côte à côte, sans case vide entre eux, forment une suite. Pour chaque suite, la somme de ses chiffres doit être au plus égale à un plafond s fixé à l’avance, et ce à tout moment de la pose. Exemple avec s = 10 : la rangée « 3, 7, vide, vide, 2, 5, 1 » contient deux suites, 3 + 7 = 10 et 2 + 5 + 1 = 8 ; elle est permise. En revanche, la suite « 4, 6, 1 » (somme 11) est interdite.
Un exemple pour s = 15 est donné ci-après : 
                                                                     
                                                                
Placer les 32 pions sur le damier en respectant toutes ces règles, successivement pour les plafonds s = 12 (facile), s = 11 (moyen) et s = 10 (difficile).

*Nota : Un bloc d’un seul tenant et sans boucle s’appelle un arbre : il se ramifie comme les branches d’un arbre, sans que deux branches se rejoignent.

Source ; Cogitus Le solitaire des jeux de stratégie de Guy Jeandel 1995 – Médaille d’argent au concours Lépine