On désigne par d1 le iième diviseur extrait de la liste des diviseurs de l’entier n classés par ordre croissant 
i = 1,2,3,… avec d₁ = 1.
Diophante soumet à Zig ces trois équations :
 





Aidez Zig à déterminer les deux équations qui ont chacune exactement deux solutions en n entier positif et la troisième équation qui a une infinité dénombrable de solutions. Pour cette dernière on donnera les solutions en n ≤ 2026. Justifiez vos réponses.

Pour toute fraction rationnelle f, on définit par [f] la partie entière par défaut de f et par {f} la partie décimale = f – [f].
Par exemple f = 13/5, [f] = 2 et {f} = 3/5,  f = −3/2,  [f] = − 2 et {f} = 1/2.
On s’intéresse aux fractions rationnelles irréductibles f de la forme n/d avec n entier relatif non nul, d entier strictement positif ≥ 2, n et d sans diviseur commun > 1, telles que le produit f*[f]*{f} est un nombre entier p strictement positif.
Ces fractions f sont appelées « parfaites ».
Q₁ Déterminez les trois plus petites valeurs entières de p qui peuvent être obtenues avec trois fractions parfaites.
Q₂ Prouvez que quel que soit d ≥ 2, on sait trouver un entier relatif n sans diviseur  commun avec d tel que la fraction f = n/d est parfaite.
Prouvez qu’il y a une infinité dénombrable de fractions f parfaites qui donnent des entiers distincts.
Q₃ Parmi les cinq équations f*[f]*{f} = 1330, f*[f]*{f} = 1740, f*[f]*{f} = 2022, f*[f]*{f} = 2026, f*[f]*{f} = 2032 l’une d’entre elles n’a pas de solution en f. Laquelle ? Justifiez votre réponse.
Q₄ Est -il vrai que pour une même valeur p on peut avoir deux fractions parfaites distinctes ? trois fractions parfaites distinctes ?

Arachné l’araignée et Formica la fourmi sont respectivement au pied d’un acacia A et d’un frêne F distants de 36 mètres. Coccinella la coccinelle, située au sol à mi-distance entre ses deux comparses, voit les sommets des deux arbres sous un angle droit. Elles engagent la conversation suivante :
Coccinella : « les hauteurs respectives h_a et h_f de l’acacia et du frêne s’expriment en nombres entiers de mètres et h_a < 5h_f ».
Arachné : « je vois le frêne de son pied jusqu’au sommet sous un angle α ».
Formica : « de la même manière je vois l’acacia sous un angle qui est un multiple entier de l’angle α ».
Cher lecteur, déterminer les hauteurs des deux arbres en prouvant que la solution est unique.

Dans un repère (Ox,Oy), on trace un point P sur l’axe des abscisses et un point Q du quadrant Oxy.
Soit (Γ) le cercle circonscrit au triangle OPQ de centre ω. La première bissectrice coupe ce cercle  en un deuxième point R.
La tangente à (Γ) au point O coupe la médiatrice de OP au point ω₁ et la droite (PR) coupe la médiatrice de PQ au point ω₂. Les cercles de centres ω1 et ω₂ et de rayons respectifs ω₁P et ω_₂P se coupent en un deuxième point A. La droite (ωA) coupe le cercle (Γ₁) en un deuxième point B.
Les points A et B se projettent respectivement en A₁,A₂ et A₃ puis B₁,B₃ et B₂ sur les droites (OP),(PQ) et (QO)⁽¹⁾.
Les droites A₁A₂, A₂A₃ et A₃A₁ rencontrent respectivement les droites B₁B₂, B₂B₃et B₃B₁ aux points X,Y et Z
Question n°1
Démontrer que les triangles A₁A₂A₃ et B₁B₂B₃ sont deux triangles rectangles isocèles.
Question n°2
Démontrer que les trois cercles circonscrits aux triangles A₁B₁X, A₂B₂Y et A₃B₃Z sont concourants en un même point S.
⁽¹⁾Nota : les points P,Q,A₂ et B₃ sont sur la même droite de même que les points O,Q,A₃ et B₂.

Diophante met à la disposition de Zig six dés (D_j, j = 1 à 6) ayant chacun 6 faces entièrement blanches et un lot important de gommettes autocollantes portant les numéros 1, 2, 3, 4, 5, 6 .
Zig colle à sa convenance des gommettes sur les 6 faces de chaque dé (une gommette par face)  de sorte qu’il obtient la même somme 21 des numéros inscrits sur les six faces.
Puce choisit alors un des six dés et Zig choisit un des cinq dés restants. Ils lancent en même temps leur dé mille fois. Celui qui obtient le plus grand numéro marque un point, sinon match nul. Le gagnant est celui qui a marqué le plus grand nombre de points.
Est-il vrai qu’en plaçant de manière adéquate les gommettes sur les six dés, quel que soit le dé D_j choisi par Puce, Zig sait trouver un dé D_k qui lui permet d’obtenir plus de points que Puce à l’issue des mille lancers. Justifiez votre réponse.

On se place dans le plan euclidien. Le but du jeu est de placer le moins de points possibles tout en forçant l’existence de droites contenant un nombre précis de points. Les points ne sont pas nécessairement tous des points d’intersection de droites.
Q₁ Déterminer le nombre minimal n₆ de points dans le plan tel qu’on puisse tracer :
1)    une droite passant par exactement 1 point,
2)    une droite passant par exactement 2 points,
3)    une droite passant par exactement 3 points,
    …
6)    une droite passant par exactement 6 points.
De la même manière déterminer n₇ et n₈.

Q₂ On a tracé  un minimum de 2025 points pour tracer k droites. Déterminer k et en déduire le nombre minimal de points supplémentaires qu’il faut ajouter pour obtenir une configuration minimale contenant k+5 droites.

Pb₁ Déterminer le plus petit entier n tel que l’équation 1/x + 1/y = 1/n a exactement 2025 couples d’entiers positifs (x,y) pour solutions. 

Pb₂ Pour tout entier k tel que 1 ≤ k ≤ 2025, on recherche les couples d’entiers positifs (x,y) telles que 1/x + 1/y = k/2025.
Q₁ Quel que soit k, existe-t-il toujours au moins un couple (x,y) ?
Q₂ Déterminer la ou les valeurs de k qui maximisent le nombre de couples (x,y) et fournir la liste des couples possibles pour chacune de ces valeurs.

Nota : les deux problèmes Pb₁ et Pb₂ sont indépendants et dans Pb₁ on ne demande pas la liste des 2025 couples mais simplement la preuve de leur existence

Zig aime filouter les équations : il écrit des équations avec des racines carrées où a,b,c,d sont des entiers relatifs non nuls et deux à deux distincts.
                                                                           
On dit que l’équation est filoute si, après avoir effacé les radicaux mais conservé la suite des signes (ici « + » puis deux fois « − »), on obtient l’équation linéaire ax + b – cx – d = 1 et que la solution entière de cette équation est aussi une solution entière de l’équation avec racines⁽¹⁾.
Q₁ Trouver tous les quadruplets (a,b,c,d) avec 1 ≤ b < 2025, c = 2025 tels que les équations filoutes correspondantes admettent toujours 2024 pour solution entière. 
Q₂ Trouver 5 quadruplets (a,b,c,d) tels que les équations filoutes correspondantes admettent pour solutions entières un ensemble de 5 entiers consécutifs.
Q₃ Déduire une formule générale qui donne pour tout m ≥ 1et tout départ convenable N, une famille de m quadruplets donnant exactement m solutions entières consécutives N,N+1,…,N + m − 1. 
⁽¹⁾ Nota : c’est la filouterie avec l’effacement trompeur qui conserve la bonne solution entière.  
  

Q₁ Montrer qu’on sait trouver une expression algébrique⁽¹⁾ qui respecte les quatre conditions :
- le chiffre 7 apparaît trois fois exactement à l'exclusion de tout autre chiffre et des nombres transcendants ou complexes tels que π (pi), e (nombre d'Euler), i tel que i² = 1 etc...
- elle fait intervenir au moins une fois chacun des symboles mathématiques : / (division), √(racine carrée) et Ln(logarithme népérien) à l'exclusion de tout autre symbole tels que somme ∑, produit ∏, partie entière par défaut ou par excès [..] , intégrale simple ∫, factorielle !….
- elle utilise les signes "+" et " - " ainsi que les parenthèses (... ) en tant que de besoin.
- elle est égale à 31.

Q₂ Prouver qu’on sait trouver au moins 22 entiers strictement positifs et inférieurs à 100 qui peuvent s’exprimer de la même manière que 31.

⁽¹⁾Par exemple (√7+Ln(7))/7 = 0,6559516… est une expression mathématique qui respecte exactement les trois premières conditions

La semaine dernière, du lundi au jeudi, Zig a assisté à quatre séances de cinéma et à chacune d’elles il a eu la curiosité de recenser les nombres de personnes devant lui et derrière lui dans la queue qui attendait l’ouverture de la salle. Il a constaté que les proportions⁽¹⁾ des personnes devant lui au cours de ces quatre jours étaient constantes et que celles⁽¹⁾ des personnes derrière lui se ramenaient à des fractions égyptiennes consécutives de la forme 1/k, 1/(k+1),1/(k+2),1/(k+3). La première séance était celle d’un film à succès mais la queue ne dépassait pas 200 mètres de long.
Déterminer les nombres de personnes qui ont assisté à chacune des quatre séances et le rang qu’occupait Zig dans chacune des queues.
Pour les plus courageux : prouver que quel que soit le nombre n de journées consécutives, il existe n queues (sans contrainte sur leurs longueurs) telles que les proportions des personnes devant Zig au cours de ces n journées sont constantes et celles des personnes derrière lui se ramènent à n fractions égyptiennes consécutives de la forme 1/(k+i) pour i = 0 to n-1.

⁽¹⁾ calculées par rapport au nombre total de personnes dans chaque queue.

Zig découpe la circonférence d’un cercle en 2025 arcs contigus dont 675 de longueur 1, 675 de longueur 2 et 675 de longueur 3. Prouver que quel que soit l'ordre selon lequel Zig trace ces arcs, au moins deux extrémités d'arc sont diamétralement opposées. 

Zig a préparé une série de problèmes mathématiques extraits des archives de diophante.fr qu’il soumet aux différents modèles d'intelligence artificielle disponibles sur la Toile.
Il fait le constat suivant: chaque modèle résout au moins trois problèmes et pour chaque paire de modèles, il existe exactement un problème qu’ils résolvent tous les deux. Par ailleurs pour chaque paire de problèmes, il existe au moins un modèle qui résout les deux.
Sachant qu’un des modèles résout quatre problèmes, combien y a-t-il de problèmes préparés par Zig et de modèles d'intelligence artificielle disponibles sur la Toile