Pour tout entier n impair ≥ 1, on pose :
A_n = 1540ⁿ + 220ⁿ + 154ⁿ + 70ⁿ +22ⁿ +10ⁿ + 7ⁿ + 1
B_n = 360ⁿ + 330ⁿ + 300ⁿ + 275ⁿ + 216ⁿ +198ⁿ + 180ⁿ + 165ⁿ
Prouver que, quel que soit n impair ≥ 1, A_n et B_n sont divisibles par 2024.

   
                                                     
Ce puzzle rectangulaire est formé de quatre pièces triangulaires (voir figure supra). Leurs surfaces s₁, s₂, s₃ et s₄ sont quatre entiers distincts tels que s₁,s₂ et s₃ pas nécessairement pris dans cet ordre sont des entiers consécutifs. Sachant que l’un des quatre entiers est égal à 47,déterminer l’aire du rectangle.

    

Déterminer les valeurs de l’entier k telles qu’on sait trouver au moins un entier n avec lequel la somme f(n) des parties entières par défaut des racines cubiques des entiers naturels de 1 à n est égal à kn.
                                              

Nota : Heureuse coïncidence millésimale, on peut vérifier avec ou sans l’aide d’un tableur ou d’un automate que pour n = 2024 et k = 9.
           En effet f(2024) =18216 = 9*2024

On choisit deux nombres réels a et b distincts strictement positifs. Soient six points A,B,C,D,E,F de l’espace tel que
AB = CD = EF = a, BC = DE = FA = b, AD = BE = CF = a + b.
Déterminer l’angle ABC.

    

La réussite du Crapaud se joue en solitaire avec une figurine représentant un crapaud, une paquet de 32 cartes numérotées de 1 à 32 et un plateau qui est composé comme dans le jeu de l'Oie d'une succession de cases disposées en spirale et numérotées dans l'ordre croissant 1,2,3,4,....
La règle de la réussite est la suivante: on tire du paquet une première carte sans remise qui a la numéro n(1) et on place le crapaud sur la case c(1) du plateau qui est égale à n(1). On tire une deuxième carte toujours sans remise qui a le numéro n(2) et le crapaud va sur la case dont le numéro c(2) > c(1) est le plus petit multiple de n(2), de facteur strictement supérieur à 1, soit c(2) = k.n(2) avec k ≥ 2 et ainsi de suite….
Par exemple: on tire successivement les cartes numérotées n(1) = 19, n(2) = 11 et n(3) = 24. Au 1er tirage le crapaud est sur la case c(1) = 19, au 2ème  tirage il va sur la case c(2) = 22  avec 22 = 2n(2) > 19  et au 3ème tirage sur la case c(3) = 48 avec 48 = 2n(3)> 22.
Le crapaud continue de sauter jusqu'au tirage de la dernière carte et la longueur N de son parcours est égal au numéro de la  dernière case qu’il atteint.
La réussite est gagnée dans les quatre cas suivants N = 64, N = 100, N = 400 et N = 528.
Prouver que pour chacun de ces quatre cas il existe un tirage complet des 32 cartes qui permet de gagner [***]
Pour les plus courageux :
Q₁ déterminer la valeurs minimale N_min de N.[***]
Q₂ Déterminer la valeur maximale N_max de N.[*****]

   

Zig a entre les mains la figurine noire d’un roi(1) d’échecs avec laquelle il visite une fois exactement toutes les cases d’un échiquier(2) de dimensions 20 x 20. Diophante lui demande de minimiser le nombre de fois que le roi change de couleurs durant son parcours. Soit N_min cette valeur minimale.
Puce opère de la même manière avec la figurine blanche d’un roi d’échecs sur un échiquier de dimensions plus petites (k x k) et obtient paradoxalement un minimum de N_min + 1 changements de couleurs.
Déterminer N_min et k.
Nota
(1) Sur un échiquier, le roi se déplace en ligne verticale ou horizontale et en diagonale d'une seule case à la fois.
(2) Cet échiquier comme tout échiquier traditionnel contient des cases noires et blanches en alternance.