PGCD désignant le Plus Grand Commun Diviseur, on considère les entiers strictement positifs a, b, c tels que                  
                                   PGCD(a,b) + PGCD(a,c) + PGCD(b,c) = b + c + 2026
Q₁ Montrer que PGCD(b,c) est indépendant du triplet (a,b,c) et calculer sa valeur.
Q₂ Exprimer a en fonction de b et c.
Q₃ Déterminer tous les triplets solutions (a,b,c) tels que 0 < a,b,c ≤ 10000.

Zig appelle admissible une suite de n entiers strictement positifs, deux à deux distincts, telle que, lorsqu’on en retire un terme quelconque, la somme des termes restants est toujours un carré parfait. Par exemple, pour n = 3, la  suite (5,20,44) est admissible, car 5 + 20 = 25, 5 + 44 = 49 et 20 + 44 = 64
Aidez Zig à déterminer le plus grand entier n pour lequel il existe une suite admissible de n entiers tous strictement inférieurs à 2026, puis donnez un exemple d’une telle suite.

On cherche une suite strictement croissante d’entiers positifs distincts (a_₁, a_₂, …, a_k ) telle que leur produit est égal à la somme de leurs carrés :  a₁a₂….a_k = a₁² + a₂² + …. + a_k²
Déterminer les valeurs de k de l’intervalle [2,6] pour lesquelles de telles suites existent et pour chaque valeur convenable de k donner une suite dont le plus grand terme est minimal.

Q₁ On considère le plan muni d’un repère orthonormé Oxy.
On trace à l’encre rouge le segment AB qui a pour extrémités le point A (8,0) de l’axe Ox et le point B(0,8) de l’axe Oy puis les sept demi-droites Δ_i i = 1,2…7 issues de l’origine O et passant par les points intérieurs au segment AB de coordonnées entières. 
On obtient un maillage du premier quadrant en traçant les points d’intersection de ces demi-droites Δ_i avec les droites parallèles à AB  D_j  (j=1,2,3,…). passant par les points d’abscisses entières  j de l’axe des abscisses.
Sur ce maillage on trace  un polygone de 28 côtés, appelé « le damier vert », représenté ci-après. : 

Calculer l’aire de ce damier vert.

Q₂ On reproduit un second maillage du même type  à partir d’un segment PQ ayant pour extrémités le point P (10,0) et le point Q (0,10) et de neuf demi-droites passant par les points de coordonnées entières du segment PQ. Trouver un quadrilatère d’aire 2026 dont les sommets sont des points du maillage et les côtés s’appuient sur des demi-droites de type Δi et  des droites de type D_j.
Nota ; il y a plusieurs solutions, on en retiendra une seule, de préférence celle qui donne un quadrilatère dont la distance à l’origine du sommet le plus proche de cette origine est la plus petite possible.

Soit k un entier parmi 2, 3, 4, 5 et 6. On écrit sur une même ligne les entiers 1, 2, 3, ..., 10k + 1.
Il y a donc 10k emplacements entre deux entiers consécutifs. À tour de rôle, les deux joueurs choisissent un emplacement encore libre et y inscrivent le signe + ou le signe −. 
À la fin, on obtient une expression de la forme N = 1 ± 2 ± 3 ± ... ± (10k + 1), où le signe de 1 est fixé et vaut +. Comme 10k est pair, chaque joueur inscrit exactement 5k signes.
Premier tournoi : Zig joue le premier. Si N est divisible par 3, Zig gagne ; sinon Puce gagne.
Deuxième tournoi : Puce joue le premier. Si N est divisible par 5, Puce gagne ; sinon Zig gagne.
Dans chacun des deux tournois, selon les valeurs de k, qui gagne la partie.

Soient deux cercles concentriques de centre O : (C₁) de rayon 1 et (C_r) de rayon r, avec 0 < r < 1.
On note P le point de (C₁) de coordonnées (1, 0). On choisit uniformément au hasard un point M sur le segment OP. On trace le cercle (Γ) de centre O et de rayon OM, puis une tangente (Δ) issue de P à (Γ). Si (Δ) coupe (C_r), elle y découpe une corde de longueur L ; si (Δ) ne coupe pas (C_r), on pose L = 0.
Déterminer l’espérance E(L) et l’écart-type σ(L). Puis calculer σ(L) lorsque E(L) = 1.

Pour tout nombre premier p, on note v(p) le nombre d’entiers strictement positifs a tels que p + a et p² + a sont deux carrés parfaits.
Mon premier est un nombre premier p tel  que v(p) = 8
Mon deuxième  est un nombre premier q tel  que v(q) = 6
Mon troisième est un nombre premier r tel que v(r ) = 4
Mon quatrième est un nombre premier s tel que v(s) = 3
Mon cinquième est un nombre premier t tel que v(t) = 2
Mon tout est un entier N < 66666666 qui est le produit pqrst
Déterminer N

Pour tout entier n positif on considère la suite S(n) des entiers = {⌊n/1⌋, ⌊n/2⌋, ⌊n/3⌋, ….., ⌊n/n⌋} où ⌊x⌋ désigne la partie entière par défaut de x. On désigne par d(n) le nombre d’éléments distincts de S(n).
Résoudre en n le système d’équations : n = 23d(n) – 21  et d(n) =  d(n-2) + 1 et en déduire d(1000n)

Albertine,Brunehilde,Chimène,Domitile,Eléonore,Félicité,Gertrude sont férues de calcul mental. Leurs âges connues de toutes s'expriment en des nombres entiers d'années. 
Chacune calcule le produit de son âge par la somme des six autres âges. 
Selon l'ordre alphabétique de leur prénom, elles obtiennent 2450, 7874, 5024, 1098, 6480, 3528, 1620. 
Déterminer leurs âges.

On trace successivement :
1) quatre points distincts A, B, C, D dans cet ordre sur une droite (Δ) ;
2) la perpendiculaire en C à (Δ), qui rencontre en E le demi-cercle de diamètre AD ;
3) l’orthocentre H du triangle BDE et le centre O du cercle circonscrit au triangle BDE.
Démontrer que la droite [OH] est parallèle à (Δ) si et seulement si la longueur AB est un multiple entier k > 1 de la longueur BC ; déterminer cet entier k.

Sept enfants sont assis en cercle. Chacun d’eux a reçu soit le rôle de « Véridique » qui dit toujours la vérité, soit le rôle de « Menteur » qui ment systématiquement. Tout le monde connaît le rôle de chacun, sauf Pierrot la lune qui ignore son propre rôle ainsi que celui des autres.
Diophante demande à chaque enfant, l'un après l'autre : « Le camarade assis à ta gauche est-il un Véridique ? ». Pierrot la lune est le dernier à répondre. Avant son tour, il a entendu exactement trois réponses « Oui » et trois réponses « Non ». Bien qu’il ne connaisse pas les rôles des uns et des autres, il réalise qu’il peut répondre correctement sans connaître son propre rôle. Quelle est sa réponse ?

Puce est devant une table où se trouvent 2026 enveloppes indiscernables dont 13 exactement contiennent chacune un billet de 100 €, les 2013 autres étant vides. 
Enn un tour, il peut choisir un nombre quelconque d’enveloppes et les répartir en au plus 13 piles. Zig lui indique alors le nombre de billets de 100€ dans chacune de ces piles. 
Quel que soit le placement des billets dans les 13 enveloppes effectué par Zig :
Q₁ Déterminer le nombre minimum de tours qui assurent à  Puce d’obtenir 13 piles qui contiennent chacune une seule enveloppe où se trouve le billet de 100 €
Q₂  Déterminer le nombre minimum de tours qui assurent à  Puce d’identifier les 13 enveloppes porteuses du billet de 100 €.