Il est bien connu que tout nombre entier impair 2k + 1 est la somme s d’une suite d’au moins deux entiers consécutifs strictement positifs. Le cas trivial est s = k + (k + 1) = 2k + 1 mais on peut obtenir plusieurs suites distinctes avec certains entiers, par exemple s = 21 = 10 + 11 = 6 + 7 + 8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6.
On fixe s = 2026125. Recenser toutes les suites d’entiers consécutifs strictement positifs dont la somme est égale à s et déterminer les termes extrêmes de la plus longue d’entre elles.

Un entier naturel non nul est un nombre heureux lorsqu’en calculant la somme des carrés de ses chiffres dans son écriture en base dix puis la somme des carrés des chiffres du nombre obtenu et ainsi de suite, on aboutit au nombre 1. Un nombre est malheureux lorsque ce n'est pas le cas.
Par exemple : 13 est un entier heureux car 1² + 3² = 10 qui est lui-même heureux 1² + 0² = 1.
A l’inverse 2 est un entier malheureux car 2 → 2² = 4 → 16 → 1² + 6² = 37 → 3² + 7² = 58 → 5² + 8² = 89
→ 8² + 9² = 145 → 1² + 4² + 5² = 42 → 4² + 2² = 20 → 2² + 0² = 4 → 16 etc…
Q₁ Déterminer les suites h(i), i = 1,2,..,  et m(j), j = 1,2,… des entiers heureux et malheureux inférieurs ou égaux à 100. Ainsi h(1) = 1 et m(1) = 2.[*]
Q₂ En déduire :
 - la suite des 12 entiers heureux compris entre 101 et 200,[**]
 - au moins cinq paires d’entiers consécutifs heureux, [**]
 - au moins trois triplets d’entiers consécutifs heureux.[***]
Q₃ Pour les plus courageux : est-il vrai que, quel que soit l’entier k ≥ 2, on sait toujours trouver k entiers consécutifs heureux.[****]

Q₁ Démontrer que chacun des cinq entiers 19¹⁹+11¹¹, 19¹⁹+31³¹,19¹⁹+41⁴¹,19¹⁹+53⁵³,19¹⁹+71⁷¹ a au moins cinq facteurs premiers distincts,
Q₂ Dénombrer les entiers n de l’intervalle [1,2025] tels que   ⁽¹⁾ est divisible par 100.

Nota 
⁽¹⁾ qui se lit également 9^(9^n) + 91^(91^n)
⁽²⁾ les deux questions sont indépendantes.

On trace les sommets d’un triangle scalène dont deux sommets sont coloriés en bleu et le troisième sommet en rouge.  
A partir de deux sommets U et V de couleurs distinctes, on trace un premier carré de côté UV dont les deux autres sommets sont coloriés en vert et en jaune de sorte que les quatre couleurs sur le cercle circonscrit au carré apparaissent dans le sens horaire : (bleu, rouge, vert, jaune).  
Puis, tour après tour, à partir de deux points quelconques déjà tracés X et Y de couleurs différentes, on colorie avec les deux couleurs restantes les deux autres sommets d’un carré dont XY est un côté ou une diagonale, de sorte que l’ordre dans le sens horaire des couleurs des sommets de ce carré soit celui du premier carré : (bleu, rouge, vert, jaune).
Démontrer qu’après 2025 tours les points d’une même couleur sont tous sur une même droite et que les quatre droites qui portent les quatre couleurs sont concourantes en un point que l’on tracera  à la règle et au compas.

On considère la suite dont les deux premiers termes sont respectvement les chiffres 1 et k avec 1 ≤ k ≤ 9. Chaque terme à partir du 3ème rang est un chiffre égal à la somme des chiffres de la somme des deux termes précédents.
Par exemple si dans la suite  on a les deux termes 3 et 9 pris dans cet ordre d’apparition, le terme suivant est 3 avec 3 + 9 = 12 et 3 = 1 + 2, le terme d’après est à nouveau 3 avec 9 + 3 = 12 et  3 = 1 + 2 puis  on obtient 6 avec 3 + 3 = 6., ce qui donne 3,9,3,3,6,….
Le millliardième terme de la suite est le chiffre 7. En déduire k.

Démontrer qu’il existe une configuration d’au moins 45 points dans le plan qui ne sont pas tous sur une même droite tels que les distances qui séparent les points pris deux à deux sont toutes des nombres entiers pas nécessairement distincts ≤ 2025.
Pour les plus courageux  disposant d’un automate: dénombrer les distances entières distinctes.