Q₁ Cet entier n a un nombre impair de diviseurs (y compris lui-même) : d_i pour i = 1 à 2k + 1 classés par ordre croissant d₁ < d₂ < …..< d_i < d_i+1 < …< d_2k+1. Sachant que d₆*d₁₀ = n et d₁₁*d₁₂ = 15n, déterminer n.
Q₂ Déterminer les entiers naturels < 2025, chacun ayant exactement huit diviseurs (y compris lui-même) :  d_i pour i = 1 à 8, classés par ordre croissant, d₁ < d₂ < …..< d₈ tels que d₅ – d₁ = d₇ – d₆.  
Nota: les deux questions sont indépendantes

   

Zig écrit au tableau treize nombres réels distincts.
Aidez Puce à prouver qu’il existe au moins deux d’entre eux x et y tels que

   

Un entier n_i est représenté comme produit de ses facteurs premiers.
Par exemple n_i = 28 = 2*2*7, ni = 144 = 2*2*2*2*3*3
On ajoute un même entier k à chacun d’eux et la multiplication des entiers ainsi obtenus donne un entier n_i+1.
Par exemple avec k = 1, à partir de n_i = 2*2*7, on a n_i+1 = (2+1)*(2+1)*(7+1) = 3*3*8 = 72 et à partir de
n_i = 144 = 2*2*2*2*3*3 on a n_i+1 = (2+1)*(2+1)*(2+1)*(2+1)*(3+1)*(3+1) = 3*3*3*3*4*4= 1296
L’entier n_i est dit « prolifique »  avec l’entier k s’il divise n_i+1. Ainsi l’entier 144 est prolifique avec k = 1 parce qu’il divise 1296 = 9*144 et l’entier 28 ne l’est pas parce qu’il ne divise pas 72.
Q₁ Avec chacune des douze valeurs de  k variant de 1 à 12, trouver le plus petit entier prolifique correspondant
n1 > k.
Q₂ A partir de chacune de ces douze valeurs de n_₁, sait-on construire  une suite infinie d’entiers prolifiques n₁, n₂, n₃……,n_i,…. ?
Q₃ Pour les plus courageux : quel que soit l’entier k, peut-on dire qu’il existe au moins un entier prolifique > k avec l’entier k ?

   

Soient un triangle ABC acutangle tel que AB  < AC  et un point P quelconque sur le côté BC tel que PC< PB . La droite [AP] coupe le cercle (Γ) circonscrit au triangle ABC en un point Q. La parallèle au segment CQ passant par P coupe la droite [AB] au point D et la parallèle au segment BQ passant par P coupe la droite [AC) au point E.
Soient X et Y les points situés  respectivement sur les segments PD et PE tels que les droites [EX] et [DY] sont tangentes au cercle (Γ) et se coupent au point Z.
Prouver que le quadrilatère PXZY est tangentiel^(1)
(1)Nota : Un quadrilatère qui possède un cercle inscrit est appelé quadrilatère tangentiel ou circonscriptible. Ses bissectrices sont concourantes et le point d'intersection est le centre du cercle.

   

Q₁ Diophante écrit les entiers de 1 à 5 au tableau noir. Zig choisit deux d’entre eux a et b, a > b, qu’il efface du tableau et les remplace par a² – b². Il poursuit de la même manière jusqu’à obtenir un seul entier c’est-à-dire qu’à chaque étape il choisit deux entiers p et q de la liste éventuellement nuls et pas nécessairement distincts, p ≥ q ≥ 0, les efface et ajoute  à la liste l’entier égal à
p² − q² y compris le nombre 0 quand p = q.
Le dernier entier de la liste ainsi obtenu peut-il être égal à zéro ? Sinon quelle est sa plus petite valeur possible ? [**]
Q₂ On désigne par m_k la plus petite valeur possible que Zig peut obtenir à partir de la liste des entiers de 1 à k
(k ≥ 3). Trouver les valeurs de m₆,m₇,m₈,m₉,m₂₀,m₂₁ [***]
Q₃ Pour les plus courageux : prouver que pour k ≥ 8 la suite des m_k est périodique avec une périodicité que l’on déterminera et en déduire m₂₀₂₅ [*****].

   
ABCD est un rectangle dont les longueurs des côtés AB et BC exprimées en mètres sont des valeurs entières strictement supérieures à 1. Deux rayons n°1 et n°2 émis du sommet A et du sommet D se réfléchissent selon les lois de l’optique sur les côtés du rectangle et pour commencer le n°1 sur le côté CD et le n°2 sur le côté AB.
                                                            
Après plusieurs réflexions le premier atteint pour la première fois le sommet B à l’issue  d’un parcours de 29 mètres exactement et le second atteint pour la première fois le sommet A à l’issue d’un parcours de 53 mètres exactement.
Déterminer le nombre de réflexions effectuées par chacun des deux rayons et le nombre de points de rencontre des parcours des deux rayons.
Nota : la figure n’est pas nécessairement à la bonne échelle.