Q₁ On considère quatre entiers positifs a,b,c et d tels que ab = cd. Prouver que leur somme a + b + c + d n’est jamais un nombre premier.
Q₂ On considère quatre entiers positifs p,q,r et s tous distincts tels que la somme des quatre fractions 
p/(p + q) + q/(q + r) + r/(r + s) + s/(s +p) est un nombre entier. Prouver que leur somme p + q + r + s n’est jamais un nombre premier.

Q₁ Déterminer l’entier p impair qui satisfait l’équation suivante:               
                                                  
dans laquelle x et y sont des entiers naturels et     désigne la partie entière par défaut de z.
Q₂ Déterminer toutes les paires d’entiers impairs p et q relativement premiers entre eux tels que :
                                                                 

Huit convives sont assis autour d'une table dont les bords numérotés de 1 à 8 dans le sens des aiguilles d'une montre, forment un octogone régulier. Sur le porte-serviette de chacun d'eux est inscrit un nombre entier strictement positif, connu de tous les convives. 
Au début du repas le dialogue suivant s'établit:
 - n°1: mon entier est le triple de celui de mon vis-à-vis,
 - n°2: mon entier est la moyenne arithmétique des entiers détenus par mes deux voisins 
 - n°3: mon entier est le double de l'entier détenu par mon vis-à-vis,
 - n°4: mon entier est égal au rapport des entiers de  mes deux voisins,
 - n°5: mon entier est la moyenne géométrique des entiers de mes deux voisins,
 - n°6: mon entier est la somme des entiers de mes deux voisins,
 - n°7: mon entier est la moyenne arithmétique des entiers détenus par mes deux voisins,
 - n°8: cher lecteur, déterminez les huit entiers sachant qu'ils sont tous distincts et que leur somme est la plus petite possible.

Zig et Puce écrivent à tour de rôle sur une même ligne les termes u₁,u₂,u₃,….,u_n ,… d’une suite S d’entiers, selon la règle suivante : quand l’un vient d’écrire k entiers consécutifs d’une certaine parité, l’autre écrit à la suite du dernier entier précédemment écrit k + 1 entiers consécutifs de l’autre parité. La suite S est strictement croissante et chaque terme est le précédent augmenté de 1 ou 2.
Ainsi Zig commence par écrire l’entier impair u₁ = 1 puis Puce écrit les deux entiers pairs  u₂ =  2 et u₃ = 4, puis Zig écrit les trois entiers impairs  u₄ =  5, u₅ = 7 et u₆ = 9 qui viennent après l’entier 4, puis Puce écrit les quatre entiers pairs u₇ =10,u₈ = 12,u₉ = 14,u₁₀ = 16  qui viennent après l’entier 9,etc…
Q₁ L’entier 2025 figure-t-il dans S ? Si oui, quel est son rang ? Déterminer le 2025^ième terme de S.
Q₂ L’entier 1 000 000 000  figure-t-il dans S ? Si oui, quel est son rang ? Déterminer le milliardième terme de S.
Q₃ Pour les plus courageux : déterminer la formule générale donnant le nième terme u_n de S en fonction de n et en déduire la limite de u_n /n quand n devient infiniment grand.

Deux bandes d’enfants (la petite bande d’effectifs n₁ et la grande bande d’effectifs n₂, avec n₁ < n₂ <100) s’envoient chaque jour des messages à l’intérieur de leur groupe (chacun à tous les autres). Si certains s’absentent, pas nécessairement le même nombre dans les deux bandes, le total de messages chute d’un certain pourcentage entier  dans la première bande et d’un autre pourcentage entier dans la seconde. Si, un autre jour, d’autres enfants s’absentent — mais sans jamais réduire le nombre de présents à la moitié ou moins — alors les baisses en % doublent exactement dans les deux bandes Déterminer les tailles des deux bandes et les pourcentages de baisse.

Exprimer sous la forme d’une fraction rationnelle irréductible la somme des 2025 fractions ci-après :