On considère l’ensemble E de n ≥ 2 nombres réels distincts et on calcule tous les produits u.v de deux nombres u et v appartenant à E. On obtient ainsi un ensemble F de nombres réels distincts.
Q₁ Déterminer en fonction de n les valeurs maximale c_max et  minimale c_min du cardinal de F.
Application numérique : calculer c_min avec n = 1015 puis avec n = 1016. Donner dans chacun de ces deux cas un exemple chiffré de l’ensemble E correspondant.
Q₂ Pour quelles valeurs de n ≥ 2 la valeur de c_max est-elle un multiple entier de c_min ?

Pour n = 2,3,….on s’intéresse à la suite S des entiers u_n > 1 , s’ils existent, qui sont les plus petits entiers non divisibles par 10 tels que la puissance n-ième de u_n est un entier commençant par u_n.
Q₁ Prouver que u₂ n’existe pas.
Q₂ Déterminer u_n pour n = 3,4,5,6,7,8,9
Q₃ Déterminer le plus petit indice n tel qu’il existe un terme u_p de S d’indice p supérieur à n avec u_p = u_n.
Q₄ Prouver qu’il y a dans S au moins une infinité dénombrable de termes identiques.
Q₅ Pour les plus courageux : est-il vrai que S contient tous les entiers naturels non divisibles par 10 ?

Ce problème fait appel à plusieurs propriétés géométriques extraites du Livre  des Lemmes d’Archimède
On trace un cercle (Γ) de centre O et de diamètre horizontal AB puis un point P sur la droite [AB] tel que P,A,O et B sont dans cet ordre et PA < AO.
Le cercle de centre P et de rayon égal à OA coupe (Γ) en un point C situé au-dessus de la droite [AB]. La demi-droite [PC] coupe (Γ) en un deuxième point D et la tangente en B à (Γ) au point Q.
Le cercle de centre C et de rayon CA coupe (Γ) en un deuxième point E et la droite [AB] au point F.
Du point Q on mène la deuxième tangente [PT] au cercle (Γ). Le point de tangence T se projette en H sur la droite [AB]. La droite [AQ] coupe TH au point J et I est le centre du cercle circonscrit (γ)  au triangle OHT.
La droite [IJ] coupe ce cercle aux points K et L avec les points C,K,I et L dans cet ordre.
Démontrer les propriétés suivantes :
P₁ L’angle BOD est le triple de l’angle BPD
P₂ Le triangle BEF est isocèle de sommet B,
P₃ Les points A,K,T d’une part et les points B,L,T d’autre part sont alignés.

On fixe deux entiers k ≥ 1 et A > 0.
On recherche des suites de n entiers positifs u_i (i = 1,2,3,….n) strictement croissantes telles que :
 - un ≤ A,
 - quel que soit i,1 ≤  i ≤ n – k, u_i divise u_i+k.
Ces suites sont appelées (k,A)-harmonieuses.
Par exemple :
- avec k = 1 et A = 150, la suite des sept entiers 1,2,4,8,16,32,64,128 est (1,150)-harmonieuse avec u₁ = 1 qui divise u₂ = 2 qui divise u₃ = 4 qui divise u₄ = 8 etc… et u₇ = 128 < 150
- avec k = 2 et A = 90, la suite des huit entiers 1,2,5,6,10,18,40,90 est (2,90)-harmonieuse. Avec u₁ = 1 qui divise u₃ = 5 qui divise u₅ = 10 qui divise u₇ = 40 et u₂ = 2 qui divise u₄ = 6 qui divise u₆ = 18 etc.. et u₈ = 90
Q₁ Pour k prenant respectivement les valeurs 3,4,5,6,7,8,9 déterminer le plus grand nombre possible de termes contenus dans les suites (k,2025)-harmonieuses et pour chaque valeur de k donner un exemple de telles suites.
Q₂ Déterminer la plus petite valeur de k avec laquelle on sait trouver une suite (k-2025)-harmonieuse qui contient au moins 100 termes.

Quatre athlètes A,B,C et D participent à la finale d’un concours qui comporte un certain nombre d’épreuves. A l’issue de chacune d’elles, le vainqueur reçoit p₁ points, le second p₂ points, le troisième p₃ points et le dernier p₄ points avec p₁,p₂,p₃ et p₄ entiers distincts strictement positifs.
Après la troisième épreuve le score cumulé de C le place provisoirement en dernière position tandis que les trois autres concurrents sont ex-aequos.
A l’issue du concours C est vainqueur avec 20 points suivi par D,A et B qui obtiennent respectivement 17 points, 15 points et 13 points.
Déterminer le nombre d’épreuves, le barème des p₁,p₂,p₃ et p₄ et l’athlète qui est en tête à l’issue de l’avant dernière épreuve.
Source : d’après un problème des olympiades mathématiques canadiennes

On tire au hasard deux boules d’une urne qui contient neuf boules numérotées de 1 à 9. Le plus petit numéro tiré est a, le plus grand est b.
On pose :
                                          
On désigne par A₁ et A₂ les arrondis à l’entier le plus proche de E₁ et de E₂.
Déterminer les probabilités p₁, p₂, p₃, p₄ et p₅ des cinq événements suivants:
Q₁ E₁ et E₂ sont des nombres entiers.
Q₂ E₁ < E₂.
Q₃ A₁ et A₂ sont des anagrammes l’un de l’autre à deux chiffres ou plus.
Q₄ abs(A₁ – A₂) = 1 avec abs(x)= valeur absolue de x.
Q₅ Aucun des quatre événements précédents ne se réalise.