Pb₁ Déterminer le plus petit entier n tel que l’équation 1/x + 1/y = 1/n a exactement 2025 paires d’entiers positifs (x,y) pour solutions. 

Pb₂ Pour tout entier k tel que 1 ≤ k ≤ 2025, on recherche les paires (non ordonnées) d’entiers positifs (x,y) telles que
1/x + 1/y = k/2025.
Q₁ Quel que soit k, existe-t-il toujours au moins une paire (x,y) ?
Q₂ Déterminer la ou les valeurs de k qui maximisent le nombre de paires (x,y) et fournir la liste des paires possibles pour chacune de ces valeurs.

Nota : les deux problèmes Pb₁ et Pb₂ sont indépendants et dans Pb₁ on ne demande pas la liste des 2025 paires mais simplement la preuve de leur existence

Zig aime filouter les équations : il écrit des équations avec des racines carrées où a,b,c,d sont des entiers relatifs non nuls et deux à deux distincts.
                                                                           
On dit que l’équation est filoute si, après avoir effacé les radicaux mais conservé la suite des signes (ici « + » puis deux fois « − »), on obtient l’équation linéaire ax + b – cx – d = 1 et que la solution entière de cette équation est aussi une solution entière de l’équation avec racines⁽¹⁾.
Q₁ Trouver tous les quadruplets (a,b,c,d) avec 1 ≤ b < 2025, c = 2025 tels que les équations filoutes correspondantes admettent toujours 2024 pour solution entière. 
Q₂ Trouver 5 quadruplets (a,b,c,d) tels que les équations filoutes correspondantes admettent pour solutions entières un ensemble de 5 entiers consécutifs.
Q₃ Déduire une formule générale qui donne pour tout m ≥ 1et tout départ convenable N, une famille de m quadruplets donnant exactement m solutions entières consécutives N,N+1,…,N + m − 1. 
⁽¹⁾ Nota : c’est la filouterie avec l’effacement trompeur qui conserve la bonne solution entière.  
  

Q₁ Montrer qu’on sait trouver une expression mathématique⁽¹⁾ :
- dans laquelle le chiffre 7 apparaît trois fois exactement,
- qui fait intervenir au moins une fois chacun des symboles mathématiques : / (division), √(racine carrée) et Ln(logarithme népérien),
- qui est égale à 31. 

Q₂ Prouver qu’on sait trouver au moins 22 entiers strictement positifs et inférieurs à 100 qui peuvent s’exprimer de la même manière que 31.

⁽¹⁾Par exemple (√7+Ln(7))/7 = 0,6559516… est une expression mathématique dans laquelle le chiffre 7 apparaît trois fois et chacun des symboles /,√ et Ln apparaît une fois.

La semaine dernière, du lundi au jeudi, Zig a assisté à quatre séances de cinéma et à chacune d’elles il a eu la curiosité de recenser les nombres de personnes devant lui et derrière lui dans la queue qui attendait l’ouverture de la salle. Il a constaté que les proportions⁽¹⁾ des personnes devant lui au cours de ces quatre jours étaient constantes et que celles⁽¹⁾ des personnes derrière lui se ramenaient à des fractions égyptiennes consécutives de la forme 1/k, 1/(k+1),1/(k+2),1/(k+3). La première séance était celle d’un film à succès mais la queue ne dépassait pas 200 mètres de long.
Déterminer les nombres de personnes qui ont assisté à chacune des quatre séances et le rang qu’occupait Zig dans chacune des queues.
Pour les plus courageux : prouver que quel que soit le nombre n de journées consécutives, il existe n queues (sans contrainte sur leurs longueurs) telles que les proportions des personnes devant Zig au cours de ces n journées sont constantes et celles des personnes derrière lui se ramènent à n fractions égyptiennes consécutives de la forme 1/(k+i) pour i = 0 to n-1.

⁽¹⁾ calculées par rapport au nombre total de personnes dans chaque queue.

Zig découpe la circonférence d’un cercle en 2025 arcs contigus dont 675 de longueur 1, 675 de longueur 2 et 675 de longueur 3. Prouver que quel que soit l'ordre selon lequel Zig trace ces arcs, au moins deux extrémités d'arc sont diamétralement opposées. 

Zig a préparé une série de problèmes mathématiques extraits des archives de diophante.fr qu’il soumet aux différents modèles d'intelligence artificielle disponibles sur la Toile.
Il fait le constat suivant: chaque modèle résout au moins trois problèmes et pour chaque paire de modèles, il existe exactement un problème qu’ils résolvent tous les deux. Par ailleurs pour chaque paire de problèmes, il existe au moins un modèle qui résout les deux.
Sachant qu’un des modèles résout quatre problèmes, combien y a-t-il de problèmes préparés par Zig et de modèles d'intelligence artificielle disponibles sur la Toile

Q₁ On considère quatre entiers positifs a,b,c et d tels que ab = cd. Prouver que leur somme a + b + c + d n’est jamais un nombre premier.
Q₂ On considère quatre entiers positifs p,q,r et s tous distincts tels que la somme des quatre fractions 
p/(p + q) + q/(q + r) + r/(r + s) + s/(s +p) est un nombre entier. Prouver que leur somme p + q + r + s n’est jamais un nombre premier.

Q₁ Déterminer l’entier p impair qui satisfait l’équation suivante:               
                                                  
dans laquelle x et y sont des entiers naturels et     désigne la partie entière par défaut de z.
Q₂ Déterminer toutes les paires d’entiers impairs p et q relativement premiers entre eux tels que :
                                                                 

Huit convives sont assis autour d'une table dont les bords numérotés de 1 à 8 dans le sens des aiguilles d'une montre, forment un octogone régulier. Sur le porte-serviette de chacun d'eux est inscrit un nombre entier strictement positif, connu de tous les convives. 
Au début du repas le dialogue suivant s'établit:
 - n°1: mon entier est le triple de celui de mon vis-à-vis,
 - n°2: mon entier est la moyenne arithmétique des entiers détenus par mes deux voisins 
 - n°3: mon entier est le double de l'entier détenu par mon vis-à-vis,
 - n°4: mon entier est égal au rapport des entiers de  mes deux voisins,
 - n°5: mon entier est la moyenne géométrique des entiers de mes deux voisins,
 - n°6: mon entier est la somme des entiers de mes deux voisins,
 - n°7: mon entier est la moyenne arithmétique des entiers détenus par mes deux voisins,
 - n°8: cher lecteur, déterminez les huit entiers sachant qu'ils sont tous distincts et que leur somme est la plus petite possible.

Zig et Puce écrivent à tour de rôle sur une même ligne les termes u₁,u₂,u₃,….,u_n ,… d’une suite S d’entiers, selon la règle suivante : quand l’un vient d’écrire k entiers consécutifs d’une certaine parité, l’autre écrit à la suite du dernier entier précédemment écrit k + 1 entiers consécutifs de l’autre parité. La suite S est strictement croissante et chaque terme est le précédent augmenté de 1 ou 2.
Ainsi Zig commence par écrire l’entier impair u₁ = 1 puis Puce écrit les deux entiers pairs  u₂ =  2 et u₃ = 4, puis Zig écrit les trois entiers impairs  u₄ =  5, u₅ = 7 et u₆ = 9 qui viennent après l’entier 4, puis Puce écrit les quatre entiers pairs u₇ =10,u₈ = 12,u₉ = 14,u₁₀ = 16  qui viennent après l’entier 9,etc…
Q₁ L’entier 2025 figure-t-il dans S ? Si oui, quel est son rang ? Déterminer le 2025^ième terme de S.
Q₂ L’entier 1 000 000 000  figure-t-il dans S ? Si oui, quel est son rang ? Déterminer le milliardième terme de S.
Q₃ Pour les plus courageux : déterminer la formule générale donnant le nième terme u_n de S en fonction de n et en déduire la limite de u_n /n quand n devient infiniment grand.

Deux bandes d’enfants (la petite bande d’effectifs n₁ et la grande bande d’effectifs n₂, avec n₁ < n₂ <100) s’envoient chaque jour des messages à l’intérieur de leur groupe (chacun à tous les autres). Si certains s’absentent, pas nécessairement le même nombre dans les deux bandes, le total de messages chute d’un certain pourcentage entier  dans la première bande et d’un autre pourcentage entier dans la seconde. Si, un autre jour, d’autres enfants s’absentent — mais sans jamais réduire le nombre de présents à la moitié ou moins — alors les baisses en % doublent exactement dans les deux bandes Déterminer les tailles des deux bandes et les pourcentages de baisse.

Exprimer sous la forme d’une fraction rationnelle irréductible la somme des 2025 fractions ci-après :