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Les nombres de Fibonacci sont définis dans la séquence bien connue 1, 1, 2, 3, 5, 8 ,13, 21, 34, 55, 89, 144,...dans laquelle chaque terme (hormis les deux premiers) est égal à la somme des deux termes précédents. Parmi eux, 2,3,5,13,89,..sont des nombres premiers et les nombres dont le rang supérieur à 4 n'est pas premier (6, 8, 10, 12, 14, 15, etc.) ne peuvent pas être premiers.
Existe-t-il une infinité de nombres de la séquence de Fibonacci qui sont en même temps premiers
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Pour n = 1, 2 et 4, on observe que nn+1 donne des nombres premiers. En effet 1 + 1 = 2, 22+1 = 5 et 44+1 = 257 sont bien des nombres premiers. En existe-t-il d'autres ?
Commentaire de Jean Moreau de Saint Martin:
Pour que nn + 1 soit premier avec n>1, n doit ĂŞtre une puissance de 2 : s'il avait un diviseur impair i (n=id), nn + 1 admettrait le diviseur nd + 1.
Ainsi les nombres premiers de cette forme sont un sous-ensemble des nombres premiers de la forme N2 + 1 : si n = 2k, N = 2^(k.2^(k-1)).
En outre, comme nn + 1=2^(k.(2^k)) + 1, le mĂŞme argument montre que k ne doit pas avoir de diviseur impair. Il faut k=2^m.
Finalement, nn + 1 = 2^(2^(m + 2^m)) + 1, c'est un nombre premier de Fermat, 2^(2^f) + 1 avec f = m + 2m.
Pour m = 0, 1, 2, etc., n=2, 4, 16, etc., f = 1, 3, 6, etc. et seuls les deux premiers (5 et 257) sont des nombres premiers.
On peut donc répondre partiellement à la question posée : s'il existe d'autres nombres premiers nn + 1, c'est qu'il existe des nombres de Fermat premiers plus grands que F4 =65537. Cela semble peu probable. |
Le mathématicien français A. Legendre (1752-1833) a conjecturé que quel
que soit l'entier n, il existe toujours au moins un nombre premier
compris entre n2 et (n+1)2. Est-ce vrai ?
Jean
Moreau de Saint Martin fait remarquer : "avec l'exposant 3 au lieu de
2, Ingham a démontré en 1932 que pour n assez grand, il existe toujours
au moins un nombre premier compris entre n3 et (n+1)3.
Par ailleurs les connaissances actuelles sur les nombres premiers
valident la conjecture pour des exposants supérieurs au nombre
rationnel 2,16."Â
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La liste des nombres premiers de la forme n2+1 commence par 2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401,.. qui correspond Ă n = 1, 2, 4, 6, 10, 14, 16, 20,.....
Existe-t-il une infinité de nombres premiers de cette forme ?
Il est facile de montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme n2+m2 ; c'est déjà beaucoup plus difficile pour l'ensemble (plus restreint) des nombres premiers de la forme n2+m4 (théorème de Friedlander-Iwaniec). On est encore loin d'une réponse pour les nombres premiers de la forme n2+1, sous-ensemble des précédents.
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Deux nombres impairs consécutifs tous deux premiers sont appelés « jumeaux ». Par exemple 3 et 5, 41 et 43, 1000 000 000 061 et 1000 000 000 063.
Le 15 janvier 2007, deux projets de calcul distribué, Twin Prime Search et PrimeGrid, ont découvert le plus grand couple de nombres premiers jumeaux actuellement connu (c’est-à -dire en janvier 2007). Le découvreur est le français Éric Vautier[1].Le couple record est 2003663613 × 2195000±1 ; les deux nombres possèdent 58 711 chiffres en écriture décimale.
Existe-t-il une infinité de nombres premiers jumeaux·?
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