On part de la séquence des nombres entiers naturels 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ? et l'on construit successivement les séquences avec l'algorithme suivant  qui définit la séquence à partir de la séquence :

• pour k , on écrit le (i+k)-ème terme puis le (i-k)-ème terme de ,
• on écrit ensuite les termes restants de .
  

On obtient le tableau suivant :

On passe, par exemple, de de la manière suivante : on a i = 3. Pour k=1,2 et 3,on écrit le (i+k)-ème terme et le (i-k)-ème terme de , soit successivement le 4 ème terme, le 2 ème terme, le 5 ème terme, le 1 er terme et enfin le 6 ème terme , ce qui donne 6, 2, 7, 4 et 8. Ces cinq nombres étant écrits, on écrit les nombres restants 9,10, 11, 12,?.

Les éléments diagonaux du tableau figurant dans les cases coloriées en jaune constituent la séquence de Kimberling : 1, 3, 5, 4, 10, 7, 15, 8, 20, 9, 18, 24, 31, 14,?.. La conjecture est la suivante : tout entier N quelconque figure-t-il dans cette séquence ?

On écrit la suite des nombres premiers :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, ?.

Puis on calcule les différences en valeur absolue des termes consécutifs pris 2 à 2 et on poursuit le processus autant de fois que désiré et l'on obtient le tableau suivant :

Comme le montre ce tableau, les séquences successives (étapes n°1 à n°22) commencent toujours par 1. Gilbreath a conjecturé qu'il en était toujours ainsi. La conjecture a été vérifiée pour tous les nombres premiers inférieurs à .

On part d'un nombre entier positif quelconque N. S'il est pair, on le divise par 2, soit N/2. Sinon, on le multiplie par 3 et on ajoute 1, soit 3N+1. Le processus est répété ad infinitum si nécessaire.

• Exemple : 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1

On constate que quelque soit N, le processus se termine toujours par 1. Existe-t-il un contre-exemple ?

Tout nombre N pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers.

Exemples:
1) 4 = 2 + 2
2) 14 = 3 + 11
3) 96 = 7 + 89
4) 188 = 37 + 151

La conjecture a été vérifiée par ordinateur pour tous les entiers pairs jusqu'à 2.10¹⁸ à la date de novembre 2010. Est-elle toujours vraie quel que soit N? La plupart des mathématiciens pensent que oui.