On dispose d’un tas de n pièces d’apparence identique. Il est possible mais pas certain que deux d’entre elles soient fausses avec une pièce plus lourde et une autre plus légère de sorte que la somme de leurs poids est égale à la somme des poids de deux pièces normales.
Avec une balance Roberval à deux plateaux et dans les trois cas où n prend respectivement les valeurs 5 puis 7 et enfin 9, est-il possible de déterminer en quatre pesées au plus si le tas contient ou non des pièces fausses et si oui sait-on identifier ces pièces fausses ?

Pour tout entier k ≥ 2, Zig s’intéresse aux suites S strictement croissantes de k entiers positifs, chacun d’eux, excepté le premier, étant un multiple de celui qui le précède et les sommes respectives de leurs chiffres formant une suite S’ strictement décroissante.
Par exemple pour k = 3, les trois entiers {26,52,104} pris dans cet ordre forment une suite S avec S’ ={8,7,5}
Q₁ Prouver que quel que soit l’entier k Zig sait trouver deux suites S et S’ à contresens.
     Application numérique : donner un exemple de deux suites S et S’ de 15 termes chacune.
Q₂ Existe-t-il deux suites S et S’ d’un million de termes chacune telles que les termes de S ne sont jamais divisibles par 10 ?