Existe-t-il un couple d'entiers p > 7 et q tels que p ! = q² - 1 ?

Il est connu que 4 ! +1 = 25 = 5², 5 !+1 = 121 = 11² et 7 !+1 = 5041 = 71². On ne connaît pas d'autre solution.

Un entier n > 1 étant donné, existe-t-il des entiers x, y et z tels que 4/n = 1/x + 1/y + 1/z ?

Les fractions 1/x, 1/y et 1/z dont le numérateur est égal à 1 et le dénominateur est un entier naturel positif, sont appelées fractions égyptiennes. 4/n doit donc être la somme de trois fractions égyptiennes.

Il existe des solutions paramétriques couvrant les entiers de certaines progressions arithmétiques.
Par exemple:
4/(2k)=1/k+1/(2k)+1/(2k)
4/(24k+5)=1/(6k+2)+1/(72k²+39k+5)+1/(144k²+78k+10).
Mais on n'en connaît pas pour n=24k+1, par exemple.
On conjecture néanmoins (c'est la conjecture d'Erdös-Straus) que le problème est possible pour tout n.

L'équation a⁵ + b⁵ = c⁵ + d⁵

Il existe de solutions en a, b,c,d des équations diophantiennes :

• a² + b² = c² + d² avec 1² + 18² = 10² + 15²,
• a³ + b³ = c³ + d³ avec 1³ + 12³ = 9³ + 10³,
• a⁴ + b⁴ = c⁴ + d⁴ avec 133⁴ + 134⁴ = 59⁴ + 158⁴.

 On ne connaît pas de relation similaire pour ⁵ + b⁵ = c⁵ + d⁵

On sait résoudre un joli problème (cf problème D131)  dans lequel 17 longueurs dans un triangle sont toutes mesurées par des nombres entiers : les trois côtés, les trois hauteurs, les trois bissectrices intérieures et les trois bissectrices extérieures, les deux rayons du cercle circonscrit et du cercle inscrit et les trois rayons des cercles exinscrits (cité par Jean Moreau de Saint Martin).

Un autre problème d'énoncé plus simple n'a toujours pas de solution à ce jour : existe-t-il un triangle dont les côtés, les médianes et l'aire s'expriment avec des nombres entiers ?
 

On considère dans le plan un carré de côté unité. Existe-t-il un point du plan dont les distances aux quatre sommets du carré s'expriment sous la forme de nombres rationnels ? En d'autres termes existe-t-il un carré de côté n entier tel qu'il existe un point du plan situé à des distances entières des quatre sommets du carré ? Aucune solution n'existe à ce jour. Voir une mise en équation.

On peut rapprocher cet énoncé d'un problème analogue sur la sphère, non résolu à notre connaissance : peut-on tracer quatre cercles de rayons rationnels sur une sphère de rayon unité tels qu'ils soient tangents deux à deux ?
Voir une mise en équation.
 

La brique parfaite d'Euler est un parallélépipède rectangle dont les côtés a, b et c, les diagonales des faces et la diagonale principale qui joint deux sommets opposés sont tous des nombres entiers.

Aucun exemple de cette brique parfaite n'est connu à ce jour. Mais si elle existe, son volume est divisible par 12640320 . 

Voir une mise en équation  avec 7 inconnues entières et une équation de degré 4 ; pouvez-vous trouver plus simple ?