Comment localiser 13 villes sur la Terre (considérée comme sphérique) de telle sorte que la distance minimale séparant deux quelconques d'entre elles soit la plus grande possible ?

Il y a une solution approchée qui a été trouvée en 1989 par Lubotzky, Philips et Sarnak pour un nombre de points quelconques mais existe-t-il vraiment une solution générale ? 

Un carré harmonique a pour côté 1/n et pour surface 1/ n². Si l'on juxtapose tous ces carrés pour n = 1,2,3,... sans qu'ils se chevauchent , ils occupent une aire égale à la série d'Euler précédemment évoquée (voir §3-6) = /6. Dans ces conditions, peut-on paver un rectangle de côtés 1 et /6 avec tous ces carrés ? A ce jour, seules des solutions approchées sont connues.

Les sommets du graphe sont tous les points du plan ; les arêtes sont tous les segments de longueur 1. La question est celle du nombre
chromatique, c'est à dire le nombre minimum de couleurs pour que chaque point en ait une et que les couleurs aux extrémités de toute arête
soient distinctes.
On sait que sept couleurs suffisent et que  trois  ne suffisent pas.

On considère les rectangles dont les côtés sont égaux à 1/k et 1/(k+1) pour k=1,2,3,....

L'aire de ces rectangles est égale à 1/[k(k+1)] = 1/k -  1/(k+1). Il en résulte que la somme des aires de tous les rectangles est égale à 1 -  1/2 + 1/2 -  1/3 + 1/3 -  1/4 .... = 1.

Dans ces conditions, peut-on paver le carré (1 x 1) avec tous ces rectangles ? Aucun pavage n'est connu à ce jour.