Pour n = 1, 2 et 4, on observe que nⁿ+1 donne des nombres premiers. En effet 1 + 1 = 2, 2²+1 = 5 et 4⁴+1 = 257 sont bien des nombres premiers. En existe-t-il d'autres ? 

Commentaire de Jean Moreau de Saint Martin:

Pour que nⁿ  +  1 soit premier avec n>1, n doit être une puissance de 2 : s'il avait un diviseur impair i (n=id), nⁿ  +  1 admettrait le diviseur n^d  +   1.
Ainsi les nombres premiers de cette forme sont un sous-ensemble des nombres premiers de la forme N²  + 1 : si n = 2^k, N = 2^(k.2^(k-1)).
En outre, comme nⁿ  + 1=2^(k.(2^k))  + 1, le même argument montre que k ne doit pas avoir de diviseur impair. Il faut k=2^m.
Finalement, nⁿ  + 1 = 2^(2^(m + 2^m))  + 1, c'est un nombre premier de Fermat, 2^(2^f) + 1 avec f = m + 2^m.
Pour m = 0, 1, 2, etc., n=2, 4, 16, etc., f = 1, 3, 6, etc. et seuls les deux premiers (5 et 257) sont des nombres premiers.
On peut donc répondre partiellement à la question posée : s'il existe d'autres nombres premiers nⁿ +  1, c'est qu'il existe des nombres de Fermat premiers plus grands que F₄ =65537. Cela semble peu probable.