Un nombre parfait est égal à la somme de ses propres diviseurs, le nombre lui-même étant évidemment exclu. Par exemple 6 = 1+2+3 et 28 = 1+2+4+7+14 sont des nombres parfaits.

Les nombres parfaits pairs sont de la forme 2^p-1(2^p-1) avec la condition que p et le nombre de Mersenne 2^p-1 sont des nombres premiers.

En janvier 2016, 49 nombres premiers de Mersenne étaient connus, le plus grand étant 2^{74 207 281}-1. Sa représentation décimale comporte 22 338 618 chiffres. Comme plusieurs de ses prédécesseurs, il a été découvert par un calcul distribué sous l'égide du projet GIMPS, Great Internet Mersenne Prime Search (qui signifie « grande recherche par Internet de nombres premiers de Mersenne Â»)
Pour plus de détails se reporter à :http://www.mersenne.org/prime.htm et http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier_de_Mersenne

Aucun nombre parfait impair n'est connu à ce jour. En existe-t-il ? S'il existe, il est somme de deux carrés (problème A10254). Mais on a prouvé qu'il a plus de 150 chiffres !