A364. Les nombres miroirs - A364. Les nombres miroirs A3. Nombres remarquab... | Les jeux mathématiques de Diophante, plus de

Pour tout entier positif n, soit f(n) - appelé miroir de n - la représentation décimale du nombre obtenu en écrivant n en binaire puis en remplaçant tout chiffre 0 par 1 et vice-versa. Par exemple pour n = 17 dont la représentation binaire est 10001,le "miroir"s'écrit 01110, soit f(n) = 14.
Q₁ On s'intéresse aux entiers n tels que n est un multiple entier k de son miroir f(n).
- démontrer que l'entier k n'est jamais impair,
- démontrer que pour tout entier k pair
   1) il existe au moins un entier n tel que n = k.f(n)
   2) il existe une infinité d'entiers n tels que n = k.f(n)
   Application numérique k = 24 et k = 2016
Q₂ Soient S(n) la somme des entiers de 1 à n et s(n) =

la somme des f(i) pour i variant de 1 à n,
- déterminer les entiers n tels que s(n) est un carré parfait.
- déterminer les entiers n tels que S(n) = 3s(n).

Cet énoncé a pour source un problème posé lors de l'IMC (International Mathematics Competition for University Students) qui s'est tenue en 2015 à Blagoevgrad (Bulgarie). La question Q₂ est une extension de l'une des questions posées à l'IMC qui était : trouver les entiers n tels que s(n) = n²/4.
Nos lecteurs ont justement fait remarquer que si l'on sait trouver les deux formules des entiers n pairs et impairs tels que s(n) = n²/4, il existe d'autres entiers n = 1, 3, 17, 115, 195 ,492, 1523, 2586, 3434,... tels que s(n) est un carré parfait ≠ n²/4 sans que l'on sache leur donner une expression générale.