Pour tout entier positif n, soit f(n) - appelé miroir de n -  la représentation décimale du nombre obtenu en écrivant n en binaire puis en remplaçant tout chiffre 0 par 1 et vice-versa. Par exemple pour n = 17 dont la représentation binaire est 10001,le "miroir"s'écrit 01110, soit f(n) = 14.
Q₁ On s'intéresse aux entiers n tels que n est un multiple entier k de son miroir f(n).
 - démontrer que l'entier k n'est jamais impair,
 - démontrer que pour tout entier k pair
   1) il existe au moins un entier n tel que n = k.f(n)
   2) il existe une infinité d'entiers n tels que n = k.f(n)
   Application numérique k = 24 et k = 2016
Q₂ Soient S(n)  la somme des entiers de 1 à n et s(n) = la somme des f(i) pour i variant de 1 à n,
  - déterminer les entiers n tels que s(n) est un carré parfait.
  - déterminer les entiers n tels que S(n) = 3s(n).