Problème proposé par Bernard Vignes

Avec une précision de dix chiffres après la virgule, déterminer :
Q₁ le nombre réel x de l’intervalle [1,2] tel que ⌊x^{2^n}⌋ + 2 est un carré parfait pour tout entier n ≥ 1, ⌊a⌋ désignant la valeur entière par défaut de a.
Q₂ le nombre réel y de l’intervalle [1,2] tel que ⌈y^{2^n}⌉ + 2 est un carré parfait pour tout entier n ≥ 2, ⌈a⌉ désignant la valeur entière par excès de a.
Nota 2^n = 2ⁿ

 Solution