Un entier naturel non nul est un nombre heureux lorsqu’en calculant la somme des carrés de ses chiffres dans son écriture en base dix puis la somme des carrés des chiffres du nombre obtenu et ainsi de suite, on aboutit au nombre 1. Un nombre est malheureux lorsque ce n'est pas le cas.
Par exemple : 13 est un entier heureux car 1² + 3² = 10 qui est lui-même heureux 1² + 0² = 1.
A l’inverse 2 est un entier malheureux car 2 → 2² = 4 → 16 → 1² + 6² = 37 → 3² + 7² = 58 → 5² + 8² = 89
→ 8² + 9² = 145 → 1² + 4² + 5² = 42 → 4² + 2² = 20 → 2² + 0² = 4 → 16 etc…
Q₁ Déterminer les suites h(i), i = 1,2,..,  et m(j), j = 1,2,… des entiers heureux et malheureux inférieurs ou égaux à 100. Ainsi h(1) = 1 et m(1) = 2.[*]
Q₂ En déduire :
 - la suite des 12 entiers heureux compris entre 101 et 200,[**]
 - au moins cinq paires d’entiers consécutifs heureux, [**]
 - au moins trois triplets d’entiers consécutifs heureux.[***]
Q₃ Pour les plus courageux : est-il vrai que, quel que soit l’entier k ≥ 2, on sait toujours trouver k entiers consécutifs heureux.[****]

 Solution