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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

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Variable

 

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A3920. Les nombres heureux Imprimer Envoyer
A3. Nombres remarquables

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Un entier naturel non nul est un nombre heureux lorsqu’en calculant la somme des carrés de ses chiffres dans son écriture en base dix puis la somme des carrés des chiffres du nombre obtenu et ainsi de suite, on aboutit au nombre 1. Un nombre est malheureux lorsque ce n'est pas le cas.
Par exemple : 13 est un entier heureux car 1² + 3² = 10 qui est lui-même heureux 1² + 0² = 1.
A l’inverse 2 est un entier malheureux car 2 â†’ 2² = 4 â†’ 16 â†’ 1² + 6² = 37 â†’ 3² + 7² = 58 â†’ 5² + 8² = 89
→ 8² + 9² = 145 â†’ 1² + 4² + 5² = 42 â†’ 4² + 2² = 20 â†’ 2² + 0² = 4 â†’ 16 etc…
Q1 Déterminer les suites h(i), i = 1,2,..,  et m(j), j = 1,2,… des entiers heureux et malheureux inférieurs ou égaux à 100. Ainsi h(1) = 1 et m(1) = 2.[*]
Q2 En déduire :
 - la suite des 12 entiers heureux compris entre 101 et 200,[**]
 - au moins cinq paires d’entiers consécutifs heureux, [**]
 - au moins trois triplets d’entiers consécutifs heureux.[***]
Q3 Pour les plus courageux : est-il vrai que, quel que soit l’entier k ≥ 2, on sait toujours trouver k entiers consécutifs heureux.[****]

 pdfDaniel Collignon,pdfChristian Romon,pdfClaude Felloneau,pdfPierre Henri Palmade,pdfPatrick Kitabgi,pdfGaston Parrour,pdfThérèse Eveilleau,pdfMaurice Bauval,pdfBaphomet Lechat,pdfDominique Chesneau,pdfPierrick Verdier,pdfRaymond Bloch,pdfFrancesco Franzosi,pdfPierre Leteurtre ont résolu tout ou partie du problème.
La question Q3 pour les plus courageux a été traitée par pdfEsam El-Sedy & Samir Siksek dans un article intitulé "Happy numbers" et paru dans la revue Journal of Mathematics (été 2000)

 

 

 
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