S est un ensemble de r ≥ 2 nombres entiers strictement positifs distincts :{a₁,a₂,….,a_r}.
Pour tout sous-ensemble A non vide{a_i,a_j,….a_k} de S, on calcule le produit⁽¹⁾ de ses éléments, soit p(A) = a_i.a_j.....a_k.
On désigne par m la moyenne arithmétique de ces produits calculés sur tous les sous-ensembles non vides de S. m est un nombre entier qui obéit à la double inégalité 5 < m < 10.
On ajoute à S  un entier a_r+1 strictement positif et distinct des r éléments de S. On obtient l’ensemble S’ de r + 1 éléments à partir duquel on calcule comme précédemment la moyenne arithmétique m’ équivalente à m. On obtient m’ = m².
Q₁ Déterminer r et les entiers qui composent S.
Q₂ Démontrer qu’il existe au moins un entier a_r+2 qui ajouté à S’ donne un ensemble S’’ de termes strictement positifs distincts tel que la moyenne arithmétique m’’ calculée dans les mêmes conditions que m et m’ est encore un nombre entier.
⁽¹⁾Nota : si A : {a_i}, le produit est réduit à l’élément a_i et p(A) = a_i.

 Solution